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(1992年)设f"(x)＜0，f(0)=0，证明对任何x1＞0，x2＞0，有f(x1+x2)＜f(x1)+f(x2)．
(1992年)设f"(x)＜0，f(0)=0，证明对任何x1＞0，x2＞0，有f(x1+x2)＜f(x1)+f(x2)．
admin
2018-06-30
15
问题
(1992年)设f"(x)＜0，f(0)=0，证明对任何x
1
＞0，x
2
＞0，有f(x
1
+x
2
)＜f(x
1
)+f(x
2
)．
选项
答案
证1 由拉格朗日中值定理知 f(x
1
)一f(0)=x
1
f’(ξ
1
)，(0<ξ
1
1) f(x
1
+x
2
)一f(x
2
)=x
1
f’(ξ
2
)，(x
2
＜ξ
2
＜x
1
+x
2
)． 不妨设x
1
≤x
2
，从而有ξ
1
＜ξ
2
，由于f"(x)＜0，则f’(x)单调减，故 f’(ξ
2
)
1)，而x
1
＞0，所以 f(x
1
+x
2
)一f(x
2
)＜f(x
1
)一f(0) 又f(0)=0，则 f(x
1
+x
2
)
1)+f(x
2
) 证2 令F(x)=f(x+x
2
)一f(x) 则 F’(x)=f’(x+x
2
)一f’(x)=x
2
f"(ξ)＜0，(x<ξ
2) 所以，F(x)单调减，则F(x
1
)＜F(0) 即 f(x
1
+x
2
)一f(x
1
)＜f(x
2
)一f(0) 由f(0)=0得 f(x
1
+x
2
)＜f(x
1
)+f(x
2
)
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/0Rg4777K
0
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