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(1998年)确定常数λ,使在右半平面x>0上的向量 A(x,y)=2xy(x4+y2)λi—x2(x4+y2)λj为某二元函数u(x,y)的梯度,并求u(x,y)。
(1998年)确定常数λ,使在右半平面x>0上的向量 A(x,y)=2xy(x4+y2)λi—x2(x4+y2)λj为某二元函数u(x,y)的梯度,并求u(x,y)。
admin
2018-03-11
50
问题
(1998年)确定常数λ,使在右半平面x>0上的向量
A(x,y)=2xy(x
4
+y
2
)
λ
i—x
2
(x
4
+y
2
)
λ
j为某二元函数u(x,y)的梯度,并求u(x,y)。
选项
答案
令P(x,y)=2xy(x
4
+y
2
)
λ
,Q(x,y)=一x
2
(x
4
+y
2
)
λ
,则A(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))在单连通区域右半平面x>0上为某二元函数u(x,y)的梯度[*]Pdx+Qdy在x>0上存在原函数[*]其中, [*] 由[*]即满足 一2x(x
4
+y
2
)
λ
一λx
2
(x
4
+y
2
)
λ-1
·4x
3
=2x(x
4
+y
2
)
λ
+2λxy(x
4
+y
2
)
λ-1
·2y [*]4x(x
4
+y
2
)
λ
(λ+1)=0[*]λ=一1。 可见,当λ=一1时,所给向量场为某二元函数的梯度场。 为求u(x,y),采用折线法,在x>0半平面内任取一点,比如点(1,0)作为积分路径的起点,则根据积分与路径无关,有 [*] 其中C为任意常数。
解析
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考研数学一
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