(1998年)确定常数λ，使在右半平面x＞0上的向量 A(x，y)=2xy(x4+y2)λi—x2(x4+y2)λj为某二元函数u(x，y)的梯度，并求u(x，y)。

admin2018-03-11 89

问题 (1998年)确定常数λ，使在右半平面x＞0上的向量
A(x，y)=2xy(x⁴+y²)^λi—x²(x⁴+y²)^λj为某二元函数u(x，y)的梯度，并求u(x，y)。

选项

答案令P(x，y)=2xy(x⁴+y²)^λ，Q(x，y)=一x²(x⁴+y²)^λ，则A(x，y)=(P(x，y)，Q(x，y))在单连通区域右半平面x＞0上为某二元函数u(x，y)的梯度[*]Pdx+Qdy在x＞0上存在原函数[*]其中， [*] 由[*]即满足一2x(x⁴+y²)^λ一λx²(x⁴+y²)^λ-1·4x³=2x(x⁴+y²)^λ+2λxy(x⁴+y²)^λ-1·2y [*]4x(x⁴+y²)^λ(λ+1)=0[*]λ=一1。可见，当λ=一1时，所给向量场为某二元函数的梯度场。为求u(x，y)，采用折线法，在x＞0半平面内任取一点，比如点(1，0)作为积分路径的起点，则根据积分与路径无关，有 [*] 其中C为任意常数。

解析

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考研数学一

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(1998年)确定常数λ，使在右半平面x＞0上的向量 A(x，y)=2xy(x4+y2)λi—x2(x4+y2)λj为某二元函数u(x，y)的梯度，并求u(x，y)。

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