(1998年)确定常数λ，使在右半平面x＞0上的向量 A(x，y)=2xy(x4+y2)λi—x2(x4+y2)λj为某二元函数u(x，y)的梯度，并求u(x，y)。

admin2018-03-11 50

问题 (1998年)确定常数λ，使在右半平面x＞0上的向量
A(x，y)=2xy(x⁴+y²)^λi—x²(x⁴+y²)^λj为某二元函数u(x，y)的梯度，并求u(x，y)。

选项

答案令P(x，y)=2xy(x⁴+y²)^λ，Q(x，y)=一x²(x⁴+y²)^λ，则A(x，y)=(P(x，y)，Q(x，y))在单连通区域右半平面x＞0上为某二元函数u(x，y)的梯度[*]Pdx+Qdy在x＞0上存在原函数[*]其中， [*] 由[*]即满足一2x(x⁴+y²)^λ一λx²(x⁴+y²)^λ-1·4x³=2x(x⁴+y²)^λ+2λxy(x⁴+y²)^λ-1·2y [*]4x(x⁴+y²)^λ(λ+1)=0[*]λ=一1。可见，当λ=一1时，所给向量场为某二元函数的梯度场。为求u(x，y)，采用折线法，在x＞0半平面内任取一点，比如点(1，0)作为积分路径的起点，则根据积分与路径无关，有 [*] 其中C为任意常数。

解析

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考研数学一

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(1998年)确定常数λ，使在右半平面x＞0上的向量 A(x，y)=2xy(x4+y2)λi—x2(x4+y2)λj为某二元函数u(x，y)的梯度，并求u(x，y)。

考研数学一

求微分方程的通解．

微分方程y’+ytanx=cox的通解为y=_________．

设证明：级数收敛．

设ξ，η是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知ξ的分布律为i=1，2，3，又设X=max{ξ，η}，Y=min{ξ，η}，试写出二维随机变量(X，Y)的分布律及边缘分布律，并求P{ξ=η}.

设随机变量X取非负整数值，P{X=n)=an(n≥1)，且EX=1，则a的值为()

已知线性方程组的通解为[2，1，0，1]T+k[1，一1，2，0]T．记a=[a1j，a2j，a3j，a4j]T，j=1，2，…，5．问：(1)α4能否由α1,α2,α3,α5线性表出，说明理由；(2)α4能否由α

求微分方程y"－ay’＝ebx(a，b为实常数，且a≠0，b≠0)的通解。

已知抛物叶形线的一部分：y2=(3一x)2(0≤x≤3)，如图3—2所示，它围成的图形为M，则M的面积A=_，M的质心(形心)=_．

已知曲面z=4一x2一y2上点P处的切平面平行于平面2x+2y+z一1=0，则点P的坐标是()

下述命题①设f(x)在任意的闭区间[a，b]上连续，则f(x)在(一∞，+∞)上连续；②设f(x)在任意的闭区间[a，b]上有界，则f(x)在(一∞，+∞)上有界；③设f(x)在(一∞，+∞)上为正值的连续函数，则在(一∞，+∞)上也是正值的连续函数

云南省现有世界地质公园1个，即石林世界地质公园。()

已知两曲线y=f(x)与y=∫0arctanxe－t2dt在点(0，0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限．

下述除哪项外均为淋巴瘤发生的可能因素

不是《中华人民共和国产品质量法》的适用范围。

力量训练后，适当补充蛋白质能加速肌肉的增长。()

可以解释“一千个读者有一千个哈姆雷特”现象的理论是

Mostadultsoncestudiedatschool,hadclassesanddidtheirhomeworkeveryday.Thesame(41)isgoingonatschoolnow.But

Sincethebeginningof2013,theseregulations______inmostworkplacesacrossthecountry.

(1998年)确定常数λ，使在右半平面x＞0上的向量 A(x，y)=2xy(x4+y2)λi—x2(x4+y2)λj为某二元函数u(x，y)的梯度，并求u(x，y)。

考研数学一

求微分方程的通解．

微分方程y’+ytanx=cox的通解为y=_________．

设证明：级数收敛．

设ξ，η是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知ξ的分布律为i=1，2，3，又设X=max{ξ，η}，Y=min{ξ，η}，试写出二维随机变量(X，Y)的分布律及边缘分布律，并求P{ξ=η}.

设随机变量X取非负整数值，P{X=n)=an(n≥1)，且EX=1，则a的值为()

已知线性方程组的通解为[2，1，0，1]T+k[1，一1，2，0]T．记a=[a1j，a2j，a3j，a4j]T，j=1，2，…，5．问：(1)α4能否由α1,α2,α3,α5线性表出，说明理由；(2)α4能否由α

求微分方程y"－ay’＝ebx(a，b为实常数，且a≠0，b≠0)的通解。

已知抛物叶形线的一部分：y2=(3一x)2(0≤x≤3)，如图3—2所示，它围成的图形为M，则M的面积A=_________，M的质心(形心)=_________．

已知曲面z=4一x2一y2上点P处的切平面平行于平面2x+2y+z一1=0，则点P的坐标是()

下述命题①设f(x)在任意的闭区间[a，b]上连续，则f(x)在(一∞，+∞)上连续；②设f(x)在任意的闭区间[a，b]上有界，则f(x)在(一∞，+∞)上有界；③设f(x)在(一∞，+∞)上为正值的连续函数，则在(一∞，+∞)上也是正值的连续函数

云南省现有世界地质公园1个，即石林世界地质公园。()

已知两曲线y=f(x)与y=∫0arctanxe－t2dt在点(0，0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限．

下述除哪项外均为淋巴瘤发生的可能因素

不是《中华人民共和国产品质量法》的适用范围。

力量训练后，适当补充蛋白质能加速肌肉的增长。()

可以解释“一千个读者有一千个哈姆雷特”现象的理论是

Mostadultsoncestudiedatschool,hadclassesanddidtheirhomeworkeveryday.Thesame(41)isgoingonatschoolnow.But

Sincethebeginningof2013,theseregulations______inmostworkplacesacrossthecountry.

已知抛物叶形线的一部分：y2=(3一x)2(0≤x≤3)，如图3—2所示，它围成的图形为M，则M的面积A=_，M的质心(形心)=_．