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设3阶矩阵A有3个不同的特征值λ1，λ2，λ3，其对应的特征向量分别为α1，α2，α3，记β=α1+α2+α3，且A3β=Aβ，则｜2A+3E｜=( )．
设3阶矩阵A有3个不同的特征值λ1，λ2，λ3，其对应的特征向量分别为α1，α2，α3，记β=α1+α2+α3，且A3β=Aβ，则｜2A+3E｜=( )．
admin
2020-10-21
69
问题
设3阶矩阵A有3个不同的特征值λ
1
，λ
2
，λ
3
，其对应的特征向量分别为α
1
，α
2
，α
3
，记β=α
1
+α
2
+α
3
，且A
3
β=Aβ，则｜2A+3E｜=( )．
选项
A、5．
B、10．
C、15．
D、20．
答案
C
解析
Aβ=A(α
1
+α
2
+α
3
)=Aα
1
+Aα
2
+Aα
3
=λ
1
α
1
+λ
2
α
+λ
3
α
3
，
A
2
β=A(λ
1
α
1
+λ
2
α
2
+λ
3
α
3
)=λ
1
2
α
1
+λ
2
2
α
2
+λ
3
2
α
3
A
3
β=A(λ
1
2
α
1
+λ
2
2
α
2
+λ
3
2
α
3
)=λ
1
32
α
1
+λ
2
3
α
2
+λ
3
3
α
3
，
由A
3
β=Aβ，得
(λ
1
—λ
1
3
)α
1
+(λ
2
一λ
2
3
)α
2
+(λ
3
一λ
3
3
)α
3
=0，
由α
1
，α
2
，α
3
线性无关，得λ
i
一λ
i
3
=0(i=1，2，3)，
于是λ
1
=一1，λ
2
=0，λ
3
=1，从而2A+3E的特征值为
2×(一1)+3=1，2×0+3=3，2×1+3=5，
故｜2A+3E｜=1×3×5=15．应选C．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/0T84777K
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