2. 考研
  3. 设3阶矩阵A有3个不同的特征值λ1，λ2，λ3，其对应的特征向量分别为α1，α2，α3，记β=α1+α2+α3，且A3β=Aβ，则｜2A+3E｜=( )．

设3阶矩阵A有3个不同的特征值λ1，λ2，λ3，其对应的特征向量分别为α1，α2，α3，记β=α1+α2+α3，且A3β=Aβ，则｜2A+3E｜=( )．

admin2020-10-21  31
问题 设3阶矩阵A有3个不同的特征值λ1，λ2，λ3，其对应的特征向量分别为α1，α2，α3，记β=α1+α2+α3，且A3β=Aβ，则｜2A+3E｜=(    )．
选项 A、5．
B、10．
C、15．
D、20．
答案C
解析 Aβ=A(α1+α2+α3)=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α+λ3α3，
A2β=A(λ1α1+λ2α2+λ3α3)=λ12α1+λ22α2+λ32α3
A3β=A(λ12α1+λ22α2+λ32α3)=λ132α1+λ23α2+λ33α3，
由A3β=Aβ，得
    (λ1—λ13)α1+(λ2一λ23)α2+(λ3一λ33)α3=0，
由α1，α2，α3线性无关，得λi一λi3=0(i=1，2，3)，
于是λ1=一1，λ2=0，λ3=1，从而2A+3E的特征值为
    2×(一1)+3=1，2×0+3=3，2×1+3=5，
故｜2A+3E｜=1×3×5=15．应选C．
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考研数学二

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