设f(x)二阶可导,且∫0xf(t)dt+∫0xtf(x-t)dt=x+1,求f(x).

admin2017-12-31  37

问题 设f(x)二阶可导,且∫0xf(t)dt+∫0xtf(x-t)dt=x+1,求f(x).

选项

答案0xtf(x-t)dt[*]x∫0xf(u)du-∫0xuf(du)=x∫0xf(t)dt-∫0xtf(t)dt, ∫0xf(t)dt+∫0xtf(x-t)dt=x+1可化为∫0xf(t)dt+x∫0xf(t)dt- ∫0xtf(t)dt=x+1, 两边求导得f(x)+∫0xf(t)dt=1, 两边再求导得f’(x)+f(x)=0,解得f(x)=Ce-x, 因为f(0)=1,所以C=1,故f(x)=e-x

解析
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