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设f(x)二阶可导,且∫0xf(t)dt+∫0xtf(x-t)dt=x+1,求f(x).
设f(x)二阶可导,且∫0xf(t)dt+∫0xtf(x-t)dt=x+1,求f(x).
admin
2017-12-31
32
问题
设f(x)二阶可导,且∫
0
x
f(t)dt+∫
0
x
tf(x-t)dt=x+1,求f(x).
选项
答案
∫
0
x
tf(x-t)dt[*]x∫
0
x
f(u)du-∫
0
x
uf(du)=x∫
0
x
f(t)dt-∫
0
x
tf(t)dt, ∫
0
x
f(t)dt+∫
0
x
tf(x-t)dt=x+1可化为∫
0
x
f(t)dt+x∫
0
x
f(t)dt- ∫
0
x
tf(t)dt=x+1, 两边求导得f(x)+∫
0
x
f(t)dt=1, 两边再求导得f’(x)+f(x)=0,解得f(x)=Ce
-x
, 因为f(0)=1,所以C=1,故f(x)=e
-x
.
解析
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0
考研数学三
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