设f(x)二阶可导，且∫0xf(t)dt＋∫0xtf(x－t)dt＝x＋1，求f(x)．

admin2017-12-31 42

问题设f(x)二阶可导，且∫₀^xf(t)dt＋∫₀^xtf(x－t)dt＝x＋1，求f(x)．

选项

答案∫₀^xtf(x－t)dt[*]x∫₀^xf(u)du－∫₀^xuf(du)＝x∫₀^xf(t)dt－∫₀^xtf(t)dt， ∫₀^xf(t)dt＋∫₀^xtf(x－t)dt＝x＋1可化为∫₀^xf(t)dt＋x∫₀^xf(t)dt－ ∫₀^xtf(t)dt＝x＋1，两边求导得f(x)＋∫₀^xf(t)dt＝1，两边再求导得f’(x)＋f(x)＝0，解得f(x)＝Ce^－x，因为f(0)＝1，所以C＝1，故f(x)＝e^－x．

解析

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