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设f(χ),g(χ)在χ=χ0某邻域有二阶连续导数,曲线y=f(χ)和y=g(χ)有相同的凹凸性.求证:曲线y=f(χ)和y=g(χ)在点(χ0,y0)处相交、相切且有相同曲率的充要条件是:f(χ)-g(χ)=o((χ-χ0)2)(χ→χ0).
设f(χ),g(χ)在χ=χ0某邻域有二阶连续导数,曲线y=f(χ)和y=g(χ)有相同的凹凸性.求证:曲线y=f(χ)和y=g(χ)在点(χ0,y0)处相交、相切且有相同曲率的充要条件是:f(χ)-g(χ)=o((χ-χ0)2)(χ→χ0).
admin
2016-10-21
55
问题
设f(χ),g(χ)在χ=χ
0
某邻域有二阶连续导数,曲线y=f(χ)和y=g(χ)有相同的凹凸性.求证:曲线y=f(χ)和y=g(χ)在点(χ
0
,y
0
)处相交、相切且有相同曲率的充要条件是:f(χ)-g(χ)=o((χ-χ
0
)
2
)(χ→χ
0
).
选项
答案
相交与相切即(χ
0
)=g(χ
0
),f′(χ
0
)=g′(χ
0
).若又有曲率相同,即 [*] 由二阶导数的连续性及相同的凹凸性得,或f〞(χ
0
)=g〞(χ
0
)=0或f〞(χ
0
)与g〞(χ
0
)同号,于是f〞(χ
0
)=g〞(χ
0
).因此,在所设条件下,曲线y(χ),y=g(χ)在(χ
0
,y
0
)处相交、相切且有相同曲率 [*]f(χ
0
)-g(χ
0
)=0,f′(χ
0
)-g′(χ
0
)=0,f〞(χ
0
)-g〞(χ
0
)=0. [*]f(χ)-g(χ)=f(χ)-g(χ)+[f(χ)-g(χ)]′[*](χ-χ) +[*][f(χ)-g(χ)]〞[*](χ-χ
o
)
2
+o(χ-χ
o
)
2
=o((χ-χ
0
)
2
) (χ→χ
0
). 即当χ→χ
0
时f(χ)-g(χ)是比(χ-χ
0
)
2
高阶的无穷小.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/0Tt4777K
0
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