2. 考研
  3. 设f(χ)，g(χ)在χ＝χ0某邻域有二阶连续导数，曲线y＝f(χ)和y＝g(χ)有相同的凹凸性．求证：曲线y＝f(χ)和y＝g(χ)在点(χ0，y0)处相交、相切且有相同曲率的充要条件是：f(χ)－g(χ)＝o((χ－χ0)2)(χ→χ0)．

设f(χ)，g(χ)在χ＝χ0某邻域有二阶连续导数，曲线y＝f(χ)和y＝g(χ)有相同的凹凸性．求证：曲线y＝f(χ)和y＝g(χ)在点(χ0，y0)处相交、相切且有相同曲率的充要条件是：f(χ)－g(χ)＝o((χ－χ0)2)(χ→χ0)．

admin2016-10-21  57
问题 设f(χ)，g(χ)在χ＝χ0某邻域有二阶连续导数，曲线y＝f(χ)和y＝g(χ)有相同的凹凸性．求证：曲线y＝f(χ)和y＝g(χ)在点(χ0，y0)处相交、相切且有相同曲率的充要条件是：f(χ)－g(χ)＝o((χ－χ0)2)(χ→χ0)．
选项
答案相交与相切即(χ0)＝g(χ0)，f′(χ0)＝g′(χ0)．若又有曲率相同，即 [*] 由二阶导数的连续性及相同的凹凸性得，或f〞(χ0)＝g〞(χ0)＝0或f〞(χ0)与g〞(χ0)同号，于是f〞(χ0)＝g〞(χ0)．因此，在所设条件下，曲线y(χ)，y＝g(χ)在(χ0，y0)处相交、相切且有相同曲率 [*]f(χ0)－g(χ0)＝0，f′(χ0)－g′(χ0)＝0，f〞(χ0)－g〞(χ0)＝0． [*]f(χ)－g(χ)＝f(χ)－g(χ)＋[f(χ)－g(χ)]′[*](χ－χ) ＋[*][f(χ)－g(χ)]〞[*](χ－χo)2＋o(χ－χo)2 ＝o((χ－χ0)2) (χ→χ0)． 即当χ→χ0时f(χ)－g(χ)是比(χ－χ0)2高阶的无穷小．
解析
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考研数学二

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