用正交变换将二次型f(x1,x2,x3)=x12一2x22一2x32一4x1x2+4x1x3+8x2x3化为标准形,并给出所施行的正交变换。

admin2018-12-19  36

问题 用正交变换将二次型f(x1,x2,x3)=x12一2x22一2x32一4x1x2+4x1x3+8x2x3化为标准形,并给出所施行的正交变换。

选项

答案二次型的矩阵为A=[*],特征多项式为 |λE一A|=[*]=(λ一2)2(λ+7), 矩阵A的特征值为λ1=一7,λ23=2。 由(λiE一A)x=0(i=1,2,3)解得特征值λ1=一7和λ23=2对应的特征向量分别为 α1=(1,2,一2)T,α2=(一2,1,0)T,α3=(2,0,1)T, 由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交,所以先将α2,α3正交化,即 β22=(一2,1,0)T,β33一[*] 再将α1,β2,β3单位化,即 [*] 那么令 Q=(γ1,γ2,γ3)=[*] 则二次型xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为一7y12+2y22+2y32

解析
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