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用正交变换将二次型f(x1，x2，x3)=x12一2x22一2x32一4x1x2+4x1x3+8x2x3化为标准形，并给出所施行的正交变换。
用正交变换将二次型f(x1，x2，x3)=x12一2x22一2x32一4x1x2+4x1x3+8x2x3化为标准形，并给出所施行的正交变换。
admin
2018-12-19
57
问题
用正交变换将二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
1
2
一2x
2
2
一2x
3
2
一4x
1
x
2
+4x
1
x
3
+8x
2
x
3
化为标准形，并给出所施行的正交变换。
选项
答案
二次型的矩阵为A=[*]，特征多项式为 ｜λE一A｜=[*]=(λ一2)
2
(λ+7)， 矩阵A的特征值为λ
1
=一7，λ
2
=λ
3
=2。 由(λ
i
E一A)x=0(i=1，2，3)解得特征值λ
1
=一7和λ
2
=λ
3
=2对应的特征向量分别为 α
1
=(1，2，一2)
T
，α
2
=(一2，1，0)
T
，α
3
=(2，0，1)
T
， 由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，所以先将α
2
，α
3
正交化，即 β
2
=α
2
=(一2，1，0)
T
，β
3
=α
3
一[*] 再将α
1
，β
2
，β
3
单位化，即 [*] 那么令 Q=(γ
1
，γ
2
，γ
3
)=[*] 则二次型x
T
Ax在正交变换x=Qy下的标准形为一7y
1
2
+2y
2
2
+2y
3
2
。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/0Vj4777K
0
考研数学二
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