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  3. 用正交变换将二次型f(x1，x2，x3)=x12一2x22一2x32一4x1x2+4x1x3+8x2x3化为标准形，并给出所施行的正交变换。

用正交变换将二次型f(x1，x2，x3)=x12一2x22一2x32一4x1x2+4x1x3+8x2x3化为标准形，并给出所施行的正交变换。

admin2018-12-19  55
问题 用正交变换将二次型f(x1，x2，x3)=x12一2x22一2x32一4x1x2+4x1x3+8x2x3化为标准形，并给出所施行的正交变换。
选项
答案二次型的矩阵为A=[*]，特征多项式为 ｜λE一A｜=[*]=(λ一2)2(λ+7)， 矩阵A的特征值为λ1=一7，λ2=λ3=2。 由(λiE一A)x=0(i=1，2，3)解得特征值λ1=一7和λ2=λ3=2对应的特征向量分别为 α1=(1，2，一2)T，α2=(一2，1，0)T，α3=(2，0，1)T， 由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，所以先将α2，α3正交化，即 β2=α2=(一2，1，0)T，β3=α3一[*] 再将α1，β2，β3单位化，即 [*] 那么令 Q=(γ1，γ2，γ3)=[*] 则二次型xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为一7y12+2y22+2y32。
解析
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考研数学二

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