已知函数f(x)满足方程f"(x)+f’(x)一2f(x)=0及f"(x)+f(x)=2ex． (Ⅰ)求f(x)的表达式； (Ⅱ)求曲线y=f(x2)∫0x f(一t2)dt的拐点．

admin2017-04-24 59

问题已知函数f(x)满足方程f"(x)+f’(x)一2f(x)=0及f"(x)+f(x)=2e^x．
(Ⅰ)求f(x)的表达式；
(Ⅱ)求曲线y=f(x²)∫₀^x f(一t²)dt的拐点．

选项

答案(Ⅰ)联立[*] 得f’(x) 一3f(x)=一2e^x，因此 f(x)=e^∫3dx(∫(一2e^x)e^一∫3dxdx+C)=e^x+Ce^3x 代入f"(x)+f(x)=2e^x，得C=0，所以 f(x)=e^x (Ⅱ)y=f(x²)∫₀^xf(一t²)dt=[*] [*] 当x＜0时，y"＜0；当x＞0时，y"＞0，又y(0)=0，所以曲线的拐点为(0，0)．

解析

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考研数学二

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求下列微分方程的通解。(ex+y－ex)dx+(ex+y+ey)dy=0
设有微分方程y’－2y=ψ(x)，其中试求在(－∞,+∞)内的连续函数y=y(x),使之在(－∞,1)和（1，+∞）内都满足所给方程，且满足条件y(0)=0.
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设曲线L位于xOy平面的第一象限内，L上任意_一点M处的切线与y轴总相交，交点为A，已知｜MA｜＝｜OA｜，且L经过点(3／2，3／2)，求L的方程．
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