2. 考研
  3. 设C1和C2是两个任意常数，则函数y=ex(C1 cos2x+C2 sin2x)+sinx是二阶常系数线性微分方程( )的通解．

设C1和C2是两个任意常数，则函数y=ex(C1 cos2x+C2 sin2x)+sinx是二阶常系数线性微分方程( )的通解．

admin2019-03-11  101
问题 设C1和C2是两个任意常数，则函数y=ex(C1 cos2x+C2 sin2x)+sinx是二阶常系数线性微分方程(    )的通解．
选项 A、y’’一2y’+5y=4cosx一2sinx
B、y’’一2y’+5y=4sinx一2cosx
C、y’’一5 y’+2y=4cosx一2sinx
D、y’’一5y’+2y=4sinx一2cosx
答案B
解析 由二阶常系数线性微分方程通解的结构知，excos2x与exsin2x是二阶常系数齐次线性微分方程y’’+ay’+by=0两个线性无关的特解．从而特征方程λ2+aλ+b=0的两个特征根应分别是λ1=1+2i，λ2=1—2i，由此可得λ2+aλ+b=(λ一1—2i)(λ一1+2i)=(λ一1)2一(2i)2=λ2—2λ+1+4=λ2—2λ+5，即a=一2，b=5．
由二阶常系数线性微分方程通解的结构又知sinx应是非齐次方程y’’一2y’+5y=f(x)的一个特解，故f(x)  =(sinx)’’一2(sinx)’+5 sinx=4sinx一2cosx．
综合即得所求方程为y’’一2y’+5y=4sinx一2cosx．应选(B)．
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考研数学三

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