设A,B为三阶矩阵，且AB=A－B,若λ1,λ2,λ3为A的三个不同的特征值，证明：存在可逆矩阵P,使得P-1AP,P-1BP同时为对角矩阵。

admin2021-11-25 58

问题设A,B为三阶矩阵，且AB=A－B,若λ₁,λ₂,λ₃为A的三个不同的特征值，证明：
存在可逆矩阵P,使得P^-1AP,P^-1BP同时为对角矩阵。

选项

答案因为A有三个不同的特征值λ₁,λ₂,λ₃，所以A可以对角化，设A的三个线性无关的特征向量为ξ₁,ξ₂,ξ₃,则有 A(ξ₁,ξ₂,ξ₃)=(ξ₁,ξ₂,ξ₃)diag(λ₁,λ₂,λ₃) BA(ξ₁,ξ₂,ξ₃)=B(ξ₁,ξ₂,ξ₃)diag(λ₁,λ₂,λ₃) AB(ξ₁,ξ₂,ξ₃)=B(ξ₁,ξ₂,ξ₃)diag(λ₁,λ₂,λ₃) 于是有ABξ_i=λ_iBξ_i,i=1,2,3 若Bξ_i≠0,则Bξ_i是A的属于特征值λ_i的特征向量，又λ_i为单根，所以有Bξ_i=μ_iξ_i; 若Bξ_i=0,则ξ_i是B的属于特征值0的特征向量；无论哪种情况，B都可以对角化，而且ξ_i是B的特征向量，因此，令P=(ξ₁,ξ₂,ξ₃)，则P^-1AP,P^-1BP同为对角阵。

解析

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考研数学二

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