设A,B为三阶矩阵,且AB=A-B,若λ1,λ2,λ3为A的三个不同的特征值,证明: 存在可逆矩阵P,使得P-1AP,P-1BP同时为对角矩阵。

admin2021-11-25  31

问题 设A,B为三阶矩阵,且AB=A-B,若λ123为A的三个不同的特征值,证明:
存在可逆矩阵P,使得P-1AP,P-1BP同时为对角矩阵。

选项

答案因为A有三个不同的特征值λ123,所以A可以对角化,设A的三个线性无关的特征向量为ξ123,则有 A(ξ123)=(ξ123)diag(λ123) BA(ξ123)=B(ξ123)diag(λ123) AB(ξ123)=B(ξ123)diag(λ123) 于是有ABξiii,i=1,2,3 若Bξi≠0,则Bξi是A的属于特征值λi的特征向量,又λi为单根,所以有Bξiiξi; 若Bξi=0,则ξi是B的属于特征值0的特征向量; 无论哪种情况,B都可以对角化,而且ξi是B的特征向量,因此,令P=(ξ123),则P-1AP,P-1BP同为对角阵。

解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/0Zy4777K
0

最新回复(0)