设求A的特征值与特征向量，判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵。

admin2021-11-25 42

问题设

求A的特征值与特征向量，判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵。

选项

答案[*]得到矩阵A的特征值为λ₁=1－α,λ₂=a,λ₃=1+a （1）当1－a≠a，1－a≠1+a,a≠1+a，即a≠0且a≠[*]时，因为矩阵A有三个不同的特征值，所以A一定可以对角化， λ₁=1－α时，由[(1－a)E－A]X=0得ξ₁=[*] λ₂=a时，由(aE－A)X=0,得ξ₂=[*] λ₃=1+a时，由[(1+a)E－A)X=0,得ξ₃=[*] [*] （2）当a=0时，λ₁=λ₃=1，因为r(E－A)=2,所以方程组(E－A)X=0的基础解系只含有一个线性无关的解的向量，故矩阵A不可以对角化。（3）当a=[*]的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故A不可以对角化。

解析

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考研数学二

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