设A=E一2ξξT，其中ξ=(x1，x2，…，xn)T，且有ξTξ=1。则 ①A是对称矩阵； ②A2是单位矩阵； ③A是正交矩阵；④A是可逆矩阵。上述结论中，正确的个数是( )

admin2019-01-19 45

问题设A=E一2ξξ^T，其中ξ=(x₁，x₂，…，x_n)^T，且有ξ^Tξ=1。则
①A是对称矩阵； ②A²是单位矩阵；
③A是正交矩阵；④A是可逆矩阵。
上述结论中，正确的个数是( )

选项 A、1。
B、2。
C、3。
D、4。

答案D

解析 A^T=(E一2ξξ^T)^T=E^T一(2ξξ^T)^T=E一2ξξ^T=A，①成立。
A²=(E一ξξ^T)(E一2ξξ^T)=E一4ξξ^T+4ξξ^Tξξ^T=E一4ξξ^T+4ξ(ξ^Tξ)ξ^T=E，②成立。
由①、②，得A²=AA^T=E，故A是正交矩阵，③成立。
由③知正交矩阵是可逆矩阵，且A^-1=A^T，④成立。
故选D。

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