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已知线性方程组=0有非零解,而且矩阵A=是正定矩阵. (1)求常数a的值; (2)求当XTX=2时,XTAX的最大值,其中X=(χ1,χ2,χ3)T为3维实向量.
已知线性方程组=0有非零解,而且矩阵A=是正定矩阵. (1)求常数a的值; (2)求当XTX=2时,XTAX的最大值,其中X=(χ1,χ2,χ3)T为3维实向量.
admin
2017-06-26
56
问题
已知线性方程组
=0有非零解,而且矩阵A=
是正定矩阵.
(1)求常数a的值;
(2)求当X
T
X=2时,X
T
AX的最大值,其中X=(χ
1
,χ
2
,χ
3
)
T
为3维实向量.
选项
答案
(1)由方程组的系数行列式△=a(a+1)(a-3)=0,[*]a的取值范围为:0,-1,3,再由矩阵A正定,得a=3. (2)A的最大特征值为10,设对应的单位特征向量为ξ(即Aξ=10ξ,且ξ
T
ξ=1).对二次型X
T
AX,存在正交变换X=PY化其为标准形:X
T
AX=λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
+λ
3
y
3
2
≤10(y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
),当X
T
X=Y
T
Y=y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
=2时,有X
T
AX≤10×2=20,又X
0
=[*]ξ满足X
0
T
X
0
=2,则X
0
T
AX
0
=[*]=2ξ
T
(Aξ)=2ξ
T
(10ξ)=20(ξ
T
ξ)=20,综上可知[*]X
T
AX=20.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/4VH4777K
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考研数学三
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