2. 考研
  3. 已知线性方程组＝0有非零解，而且矩阵A＝是正定矩阵． (1)求常数a的值； (2)求当XTX＝2时，XTAX的最大值，其中X＝(χ1，χ2，χ3)T为3维实向量．

已知线性方程组＝0有非零解，而且矩阵A＝是正定矩阵． (1)求常数a的值； (2)求当XTX＝2时，XTAX的最大值，其中X＝(χ1，χ2，χ3)T为3维实向量．

admin2017-06-26  35
问题 已知线性方程组＝0有非零解，而且矩阵A＝是正定矩阵．
    (1)求常数a的值；
    (2)求当XTX＝2时，XTAX的最大值，其中X＝(χ1，χ2，χ3)T为3维实向量．
选项
答案(1)由方程组的系数行列式△＝a(a＋1)(a－3)＝0，[*]a的取值范围为：0，－1，3，再由矩阵A正定，得a＝3． (2)A的最大特征值为10，设对应的单位特征向量为ξ(即Aξ＝10ξ，且ξTξ＝1)．对二次型XTAX，存在正交变换X＝PY化其为标准形：XTAX＝λ1y12＋λ2y22＋λ3y32≤10(y12＋y22＋y32)，当XTX＝YTY＝y12＋y22＋y32＝2时，有XTAX≤10×2＝20，又X0＝[*]ξ满足X0TX0＝2，则X0TAX0＝[*]＝2ξT(Aξ)＝2ξT(10ξ)＝20(ξTξ)＝20，综上可知[*]XTAX＝20．
解析
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考研数学三

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