设矩阵A=(aij)n×n的秩为n,aij的代数余子式为Aij(i,j=1,2,…,n).记A的前r行组成的r×n矩阵为B,证明:向量组 是齐次线性方程组Bχ=0的基础解系.

admin2017-06-26  55

问题 设矩阵A=(aij)n×n的秩为n,aij的代数余子式为Aij(i,j=1,2,…,n).记A的前r行组成的r×n矩阵为B,证明:向量组

    是齐次线性方程组Bχ=0的基础解系.

选项

答案r(B)=r,[*]方程组Bχ=0的基础解系含n-r个向量,故只要证明α1,α2,…,αn-r是方程组Bχ=0的线性无关解向量即可.首先,由行列式的性质,有[*]aijAkj=0(i=1,2,…,r;k=r+1,r+2,…,n).故α1,α2,…,αn-r都是Bχ=0的解向量;其次,由于|A*|=|A|n-1≠0,知A*的列向量组线性无关,而α1,α2…,αn-r正好是A*的后n-r列,故α1,α2,…,αn-r线性无关,因此α1,α2,…,αn-r是Bχ=0的n-r个线性无关解向量,从而可作为Bχ=0的基础解系.

解析
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