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[2005年] 设矩阵A=[aij]3×3满足A*=AT,其中A*为A的伴随矩阵,AT为A的转置矩阵,若a11,a12,a13为3个相等的正数,则a11为( ).
[2005年] 设矩阵A=[aij]3×3满足A*=AT,其中A*为A的伴随矩阵,AT为A的转置矩阵,若a11,a12,a13为3个相等的正数,则a11为( ).
admin
2019-05-10
65
问题
[2005年] 设矩阵A=[a
ij
]
3×3
满足A
*
=A
T
,其中A
*
为A的伴随矩阵,A
T
为A的转置矩阵,若a
11
,a
12
,a
13
为3个相等的正数,则a
11
为( ).
选项
A、√3/3
B、3
C、1/3
D、√3
答案
A
解析
出现第l行3个相等的元素,自然想到用行列式展开定理.用a
11
的表达式表示∣A∣,再利用命题2.1.2.8即可求出a
11
解一 显然矩阵A满足命题2.1.2.8中的三个条件,因而由该命题即得∣A∣=1.将∣A∣按第1行展开得到1=∣A∣=a
11
A
11
+a
12
A
12
+a
13
A
13
=a
11
2
+a
12
2
+a
13
2
=3a
11
2
,故以a
11
=√3/3.
仅(A)入选.
解二 由A
*
=A
T
,即
,其中A
ij
为∣A∣中元素
a
ij
(i,j=1,2,3)的代数余子式,得a
ij
=A
ij
(i,j=l,2,3).将∣A∣按第1行展开,得
∣A∣=a
11
A
11
+a
12
A
12
+a
13
A
13
=a
11
2
+a
12
2
+a
13
2
=3a
11
2
>0.
又由A
*
=A
T
得到∣A
*
∣=∣A∣
3-1
=∣A
T
∣=∣A∣,即∣A∣(∣A∣一1)=0,而∣A∣>0,
故∣A∣一1=0,即∣A∣=1,则3a
11
2
=1,因a
11
>0,故a
11
=
=√3/3.仅(A)入选.
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考研数学二
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