设f(x)在(0，+∞)内连续且单调减少.证明： ∫1n+1f(x)dx≤≤f(1)+∫1nf(x)dx.

admin2022-08-19 19

问题设f(x)在(0，+∞)内连续且单调减少.证明：
∫₁ⁿ⁺¹f(x)dx≤

≤f(1)+∫₁ⁿf(x)dx.

选项

答案∫₁ⁿ⁺¹f(x)dx=∫₁²f(x)dx+∫₂³f(x)dx+…+∫_nⁿ⁺¹f(x)dx，当x∈[1，2]时，f(x)≤f(1)，两边积分得∫₁²f(x)dx≤f(1)，同理∫₂³f(x)dx≤f(2)，…，∫_nⁿ⁺¹f(x)dx≤f(n)，相加得∫₁ⁿ⁺¹f(x)dx≤[*] 当x∈[1，2]时，f(2)≤f(x)，两边积分得f(2)≤∫₁²f(x)dx，同理f(3)≤∫₂³f(x)dx，…，，f(n)≤∫_n-1ⁿf(x)dx，相加得f(2)+…+f(n)≤∫₁ⁿf(x)dx，于是[*]≤f(1)+∫₁ⁿf(x)dx.

解析

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考研数学三

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