2. 考研
  3. 设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f”(x)≥0，φ(x)是区间[a，b]上的非负连续函数，且φ(x)dx＝1．证明：f(x)φ(x)dx≥f[xφ(x)dx]．

设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f”(x)≥0，φ(x)是区间[a，b]上的非负连续函数，且φ(x)dx＝1．证明：f(x)φ(x)dx≥f[xφ(x)dx]．

admin2019-11-25  104
问题 设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f”(x)≥0，φ(x)是区间[a，b]上的非负连续函数，且φ(x)dx＝1．证明：f(x)φ(x)dx≥f[xφ(x)dx]．
选项
答案因为f”(x)≥0，所以有f(x)≥f(x0)＋f’(x0)(x－x0)． 取x0＝[*]xφ(x)dx，因为φ(x)≥0，所以aφ(x)≤xφ(x)≤bφ(x)，又[*]φ(x)dx＝1， 于是有a≤[*]xφ(x)dx＝x0≤b． 将x0＝[*]xφ(x)dx代入f(x)≥f(x0)＋f’(x0)(x－x0)中，再由φ(x)≥0，得 f(x)φ(x)≥f(x0)φ(x)＋f’(x0)[xφ(x)－x0φ(x)]， 上述不等式两边再在区间[a，b]上积分，得[*]f(x)φ(x)dx≥f[[*]xφ(x)dx]．
解析
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考研数学三

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