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设A,B均是n阶矩阵,且r(A)+r(B)<n,证明A,B有公共的特征向量.
设A,B均是n阶矩阵,且r(A)+r(B)<n,证明A,B有公共的特征向量.
admin
2019-04-22
94
问题
设A,B均是n阶矩阵,且r(A)+r(B)<n,证明A,B有公共的特征向量.
选项
答案
设r(A)=r,r(B)=s,且α
1
,α
2
……α
n-r
是齐次方程组Ax=0的基础解系,即矩阵A关于A=0的特征向量,同理,β
1
β
2
……β
n-s
是曰关于A=0的特征向量.那么,向量组α
1
,α
2
……α
n-r
,β
1
β
2
……β
n-s
必然线性相关(由于n一r+n一s=n+(n—r—s)>n).于是存在不全为零的实数k
1
,k
2
,…,k
n-r
,l
1
,l
2
,…,l
n-s
,使k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
n-r
α
n-r
+l
1
β
1
+l
2
β
2
+…+l
n-s
β
n-s
=0.因为β
1
β
2
……β
n-r
线性无关,β
1
β
2
……β
n-s
线性无关,所以k
1
,k
2
,…,k
n-r
,与l
1
,l
2
,…,l
n-s
必分别不全为零,令γ=k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
n-r
α
n-r
=一(l
1
β
1
+l
2
β
2
+…+l
n-s
β
n-s
).由γ≠0,从特征向量性质知,γ既是A关于λ=0的特征向量,也是B关于λ=0的特征向量,因而A,B有公共的特征向量.
解析
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