已知平面曲线Ax2+2Bxy+Cy2=1 (C>0,AC-B2>0)为中心在原点的椭圆,求它的面积.

admin2019-05-11  79

问题 已知平面曲线Ax2+2Bxy+Cy2=1  (C>0,AC-B2>0)为中心在原点的椭圆,求它的面积.

选项

答案椭圆上点(x,y)到原点的距离平方为d2=x2+y2,条件为Ax2+2Bxy+Cy2-1=0. 令F(x,y,λ)=x2+y2-λ(Ax2+2Bxy+Cy2-1),解方程组 [*] 将①式乘x,②式乘y,然后两式相加得 [(1-Aλ)x2-Bλxy]+[-Bλxy+(1-Cλ)y2]=0, 即 x2+y2=λ(Ax2+2Bxy+Cy2)=λ, 于是可得d=[*]. 从直观知道,函数d2的条件最大值点与最小值点是存在的,其坐标不同时为零,即联立方程组F’x=0,F’y=0有非零解,其系数行列式应为零,即 [*] 该方程一定有两个根λ1,λ2,它们分别对应d2的最大值与最小值.因此,椭圆的面积为 [*]

解析
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