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设数列{an}满足a1=a2=1,且an+1=an+an-1,n=2,3,….证明在时幂级数收敛,并求其和函数与系数an.
设数列{an}满足a1=a2=1,且an+1=an+an-1,n=2,3,….证明在时幂级数收敛,并求其和函数与系数an.
admin
2018-09-25
25
问题
设数列{a
n
}满足a
1
=a
2
=1,且a
n+1
=a
n
+a
n-1
,n=2,3,….证明在
时幂级数
收敛,并求其和函数与系数a
n
.
选项
答案
①显然,{a
n
}是正项严格单调递增数列,且有a
3
=2,a
4
=a
2
+a
3
<2a
3
=2
2
,假设 a
n
<2
n-2
成立,则有a
n+1
=a
n
+a
n-1
<2a
n
<2
n-1
,故由归纳法得a
n
<2
n-2
.于是,所考虑的级数的通 项有 [*] 在|2x|<1时收敛,故由比较审敛法知,级数 [*] 时绝对收敛. ②原幂级数化为 [*] 移项后得原幂级数的和函数为 [*] ③将[*]展开为x的幂级数,有 [*] 而[*]的和函数,则由幂级数展开式的唯一性,通过比较系数得原幂级数的系数 [*]
解析
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考研数学一
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