2. 考研
  3. 设数列{an}满足a1=a2=1，且an+1=an+an－1，n=2，3，…．证明在时幂级数收敛，并求其和函数与系数an．

设数列{an}满足a1=a2=1，且an+1=an+an－1，n=2，3，…．证明在时幂级数收敛，并求其和函数与系数an．

admin2018-09-25  56
问题 设数列{an}满足a1=a2=1，且an+1=an+an－1，n=2，3，…．证明在时幂级数收敛，并求其和函数与系数an．
选项
答案①显然，{an}是正项严格单调递增数列，且有a3=2，a4=a2+a3＜2a3=22，假设 an＜2n－2成立，则有an+1=an+an－1＜2an＜2n－1，故由归纳法得an＜2n－2．于是，所考虑的级数的通 项有 [*] 在｜2x｜＜1时收敛，故由比较审敛法知，级数 [*] 时绝对收敛． ②原幂级数化为 [*] 移项后得原幂级数的和函数为 [*] ③将[*]展开为x的幂级数，有 [*] 而[*]的和函数，则由幂级数展开式的唯一性，通过比较系数得原幂级数的系数 [*]
解析
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考研数学一

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