设数列{an}满足a1=a2=1，且an+1=an+an－1，n=2，3，…．证明在时幂级数收敛，并求其和函数与系数an．

admin2018-09-25 25

问题设数列{a_n}满足a₁=a₂=1，且a_n+1=a_n+a_n－1，n=2，3，…．证明在

时幂级数

收敛，并求其和函数与系数a_n．

选项

答案①显然，{a_n}是正项严格单调递增数列，且有a₃=2，a₄=a₂+a₃＜2a₃=2²，假设 a_n＜2^n－2成立，则有a_n+1=a_n+a_n－1＜2a_n＜2^n－1，故由归纳法得a_n＜2^n－2．于是，所考虑的级数的通项有 [*] 在｜2x｜＜1时收敛，故由比较审敛法知，级数 [*] 时绝对收敛． ②原幂级数化为 [*] 移项后得原幂级数的和函数为 [*] ③将[*]展开为x的幂级数，有 [*] 而[*]的和函数，则由幂级数展开式的唯一性，通过比较系数得原幂级数的系数 [*]

解析

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考研数学一

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