设X1，X2，…，X12是取自总体X的一个简单随机样本，EX=μ，DX=σ．记Y1=X1+…+X8，Y2=X5+…+X12，求Y1与Y2的相关系数．

admin2016-10-26 68

问题设X₁，X₂，…，X₁₂是取自总体X的一个简单随机样本，EX=μ，DX=σ．记Y₁=X₁+…+X₈，Y₂=X₅+…+X₁₂，求Y₁与Y₂的相关系数．

选项

答案根据简单随机样本的性质，X₁，X₂，…，X₁₂相互独立且与总体X同分布，于是有 EX_i=μ，DX_i=σ²，Cov(X_i，X_j)=[*]i，j=1，…，12． DY₁=D(X₁+…+X₈)=DX₁+…+DX₈=8σ²， DY₂=D(X₅+…+X₁₂) =DX₅+…+DX₁₂=8σ²， Cov(Y₁，Y₂)=Cov(X₁+…+X₈，X₅+…+X₁₂) =Cov(X₅，X₅)+Cov(X₆，X₆)+Cov(X₇，X₇)+Cov(X₈，X₈)=4σ²，于是Y₁与Y₂的相关系数为 [*]

解析

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考研数学一

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设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数fˊ(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)＝0，试应用拉格朗日中值定理证明不等式：f(a＋b)≤f(a)＋f(b)，其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a＋b≤c．
由结论可知，若令φ(x)＝xf(x)，则φˊ(x)＝f(x)＋xfˊ(x)．因此，只需证明φ(x)在[0，1]内某一区间上满足罗尔定理的条件．令φ(x)＝xf(x)，由积分中值定理可知，存在η∈(0，1／2)使[*]
设X1，X2，…，Xn为来自总体N(μ，σ2)的简体随机样本，又为样本均值，记：
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