设二维连续型随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)｜x2+y2≤1}上服从均匀分布．(Ⅰ)问X与Y是否相互独立； (Ⅱ)求X与Y的相关系数．

admin2016-10-26 48

问题设二维连续型随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)｜x²+y²≤1}上服从均匀分布．(Ⅰ)问X与Y是否相互独立； (Ⅱ)求X与Y的相关系数．

选项

答案依题意，(X，Y)的联合密度为 [*] (Ⅰ)为判断X与Y的相互独立性，先要计算边缘密度f_X(x)与f_Y(y)． [*] 当｜x｜＞1时，f_X(x)=0．类似地，有 [*] 当x=y=0时，f(0，0)=[*]．显然它们不相等，因此随机变量X与Y不是相互独立的． (Ⅱ)EX=[*]dx=0．在这里，被积函数是奇函数，而积分区间[一1，1]又是关于原点对称的区间，故积分值为零．类似地，有 EY=0． [*]

解析

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