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设有一半径为R长度为l的圆柱体,平放在深度为2R的水池中(圆柱体的侧面与水面相切).设圆柱体的比重为ρ(ρ>1),现将圆柱体从水中移出水面,问需做多少功?
设有一半径为R长度为l的圆柱体,平放在深度为2R的水池中(圆柱体的侧面与水面相切).设圆柱体的比重为ρ(ρ>1),现将圆柱体从水中移出水面,问需做多少功?
admin
2016-10-26
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问题
设有一半径为R长度为l的圆柱体,平放在深度为2R的水池中(圆柱体的侧面与水面相切).设圆柱体的比重为ρ(ρ>1),现将圆柱体从水中移出水面,问需做多少功?
选项
答案
任取小区间[x,x+dx][*][-R,R]相应的柱体薄片,其体积为 2yldx=2l[*]dx. 移至水面时薄片移动的距离为R-x,所受的力(重力与浮力之差)为(ρ-1)2l[*]dx,因而移至水面时做的功为 (ρ-1)2l(R-x)[*]dx. 整个移出水面时,此薄片离水面距离为R+x,将薄片从水面移到此距离时所做的功为ρ(R+x)2l.[*]dx,于是对薄片做的功为 dW=2l[(ρ-1)(R-x)+ρ(R+x)][*]dx =2l[(2ρ-1)R+x][*]dx. 因此,所求的功W=[*]dx+0 =2l(2ρ-1)R.[*]R
2
=l(2ρ-1)πR
3
.
解析
首先建立坐标系,取x轴垂直水平面并过球心,方向向上,原点为球心,如图3.32所示.然后用微元法,考察微元上的作用力.注意,在水里时受重力与浮力的作用,在水面上时只受重力的作用.
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考研数学一
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