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  3. 设fn(x)=x+x2+…+xn(n≥2). (1)证明：方程fn(x)=1有唯一的正根xn； (2)求

设fn(x)=x+x2+…+xn(n≥2). (1)证明：方程fn(x)=1有唯一的正根xn； (2)求

admin2022-08-19  58
问题 设fn(x)=x+x2+…+xn(n≥2).
(1)证明：方程fn(x)=1有唯一的正根xn；
(2)求
选项
答案(1)令φn(x)=fn(x)-1，因为φn(0)=-1＜0，φn(1)=n-1＞0，所以φn(x)在(0，1)[*](0，+∞)内有一个零点，即方程fn(x)=1在(0，+∞)内有一个根. 因为φ′n(x)=1+2x+…+nxn-1＞0，所以φn(x)在(0，+∞)内单调增加，所以φn(x)在(0，+∞)内的零点唯一，所以方程fn(x)=1在(0，+∞)内有唯一正根，记为xn. (2)由fn(xn)-fn+1(xn+1)=0，得(xn-xn+1)+(xn2-xn+12)+…+(xnn-xn+1n)=xn+1n+1＞0，从而xn＞xn+1，所以{xn)n=1∞ 单调减少，又xn＞0(n=1，2，…)， [*]
解析
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考研数学三

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