设二次型 f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2,记 若α,β正交且均为单位向量,证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22.

admin2019-12-26  31

问题 设二次型
       f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2,记
           
若α,β正交且均为单位向量,证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22

选项

答案记A=2ααT+ββT,因为α,β正交且均为单位向量,所以 Aα=(2ααT+ββT)α=2α, Aβ=(2ααT+ββT)β=β, 于是λ1=2,λ2=1是矩阵A的特征值,又 r(A)=r(ααT+ββT)≤r(2ααT)+r(ββT)≤2. 所以λ3=0是A的另一特征值,故f在正交变换下的标准形为2y12+y22

解析
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