证明:线性方程组(Ⅰ)有解的充分必要条件是方程组(Ⅱ)与(Ⅲ)是同解方程组.

admin2019-11-25  60

问题 证明:线性方程组(Ⅰ)有解的充分必要条件是方程组(Ⅱ)与(Ⅲ)是同解方程组.

选项

答案令A=[*]=(a1,a2,…,an),b=[*],X=[*],Y=[*], 方程组(Ⅰ)可写为AX=b,方程组(Ⅱ)、(Ⅲ)可分别写为ATY=0及Y=0. 若方程组(Ⅰ)有解,则r(A)=r(A[*]b),从而r(AT)=r[*],又因为(Ⅲ)的解一定为(Ⅱ)的解,所以(Ⅱ)与(Ⅲ)同解; 反之,若(Ⅱ)与(Ⅲ)同解,则r(AT)=r[*],从而r(A)=r(A[*]b),故方程组(Ⅰ)有解.

解析
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