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(2003年试题,九)设矩阵B=P-1A*P,求B+2E的特征值与特征向量,其中A*为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵.
(2003年试题,九)设矩阵B=P-1A*P,求B+2E的特征值与特征向量,其中A*为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵.
admin
2019-05-16
15
问题
(2003年试题,九)设矩阵
B=P
-1
A
*
P,求B+2E的特征值与特征向量,其中A
*
为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵.
选项
答案
由题设,不难算出[*]从而A可逆,由初等行变换可求出[*]则由公式A
*
=|A|A
-1
,可求得[*]又由已知[*]则易求得[*]综上[*]又由特征方程[*]可求出λ
1
=9,λ
2
=9,λ
3
=3.当λ
1
=λ
2
=9时,由(B+2E一9E)x=0,可求得相应特征向量为ξ
1
=(一l,1,0)
T
,ξ
2
=(一2,0,1)
T
即对应于特征值9的所有特征向量为k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
=k
1
(一1,1,0)
T
+k
2
(一2,0,1)
T
当λ
3
=3时,由(B+2E一3E)x=0,可求得相应特征向量为ξ
3
=(0,1,1)
T
故对应于特征值3的所有特征向量为k
3
ξ
3
=k
3
(0,1,1)
T
以上k
1
,k
2
,k
3
皆为不为零的任意常数. 解析二令[*]则得A的特征值为λ
1
=λ
2
=1,λ
3
=7.当λ
1
=λ
2
=1时,对应的线性无关的特征向量可取为[*]当λ
3
=7时,对应的特征向量为[*]记λ,η分别为矩阵A的特征值和特征向量,则A
*
η=[*]于是(B+2E)(P
-1
η)=P
-1
A
*
P(P
-1
η)+2P
-1
η,=|P
-1
A
*
η+2P
-1
η[*]因而可知,[*]和P
-1
η分别为B+2E的特征值和特征向量.又|A|=λ
1
λ
2
λ
3
=7,则B+2层的特征值分别为9,9,3.又[*]则[*]即有B+2E对应于特征值9的全部特征向量为:k
1
P
-1
η
1
+k
2
P
-1
η
2
=[*]其中k
1
,k
2
是不全为零的任意常数;其对应于特征值3的全部特征向量为:k
2
P
-1
η
3
=[*]其中k
3
是不为零的任意常数.
解析
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考研数学一
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