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  3. (2003年试题，九)设矩阵B=P-1A*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵．

(2003年试题，九)设矩阵B=P-1A*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵．

admin2019-05-16  102
问题 (2003年试题，九)设矩阵B=P-1A*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵．
选项
答案由题设，不难算出[*]从而A可逆，由初等行变换可求出[*]则由公式A*=｜A｜A-1，可求得[*]又由已知[*]则易求得[*]综上[*]又由特征方程[*]可求出λ1=9，λ2=9，λ3=3．当λ1=λ2=9时，由(B+2E一9E)x=0，可求得相应特征向量为ξ1=(一l，1，0)T，ξ2=(一2，0，1)T即对应于特征值9的所有特征向量为k1ξ1+k2ξ2=k1(一1，1，0)T+k2(一2，0，1)T当λ3=3时，由(B+2E一3E)x=0，可求得相应特征向量为ξ3=(0，1，1)T故对应于特征值3的所有特征向量为k3ξ3=k3(0，1，1)T以上k1，k2，k3皆为不为零的任意常数． 解析二令[*]则得A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=7．当λ1=λ2=1时，对应的线性无关的特征向量可取为[*]当λ3=7时，对应的特征向量为[*]记λ，η分别为矩阵A的特征值和特征向量，则A*η=[*]于是(B+2E)(P-1η)=P-1A*P(P-1η)+2P-1η，=|P-1A*η+2P-1η[*]因而可知，[*]和P-1η分别为B+2E的特征值和特征向量．又｜A｜=λ1λ2λ3=7，则B+2层的特征值分别为9，9，3．又[*]则[*]即有B+2E对应于特征值9的全部特征向量为：k1P-1η1+k2P-1η2=[*]其中k1，k2是不全为零的任意常数；其对应于特征值3的全部特征向量为：k2P-1η3=[*]其中k3是不为零的任意常数．
解析
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考研数学一

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