2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上二阶可导，且｜f(x)｜≤a，｜f"(x)｜≤b，其中a，b都是非负常数，c为(0，1)内任意一点．写出f(x)在x=c处带Lagrange型余项的一阶泰勒公式；证明：｜f’(x)｜≤2a+b/2．

设f(x)在[0，1]上二阶可导，且｜f(x)｜≤a，｜f"(x)｜≤b，其中a，b都是非负常数，c为(0，1)内任意一点．写出f(x)在x=c处带Lagrange型余项的一阶泰勒公式；证明：｜f’(x)｜≤2a+b/2．

admin2022-10-09  48
问题 设f(x)在[0，1]上二阶可导，且｜f(x)｜≤a，｜f"(x)｜≤b，其中a，b都是非负常数，c为(0，1)内任意一点．写出f(x)在x=c处带Lagrange型余项的一阶泰勒公式；证明：｜f’(x)｜≤2a+b/2．
选项
答案f(x)=f(c)+f’(c)(x-c)+f’(ξ)/2!(x-c)2，其中ξ介于c与x之间，分别令x=0，x=1，得f(0)=f(c)-f’(c)c+f"(ξ1)/2!c2，ξ1∈(0，c)，f(1)=f(c)-f’(c)(1-c)+f"(ξ2)/2!(1-c)2，ξ2∈(0，c)，两式相减，得f’(c)=f(1)-f(0)+f"(ξ1)/2!c2-f"(ξ2)/2!(1-c)2，利用已知条件，得｜f’(c)｜≤2a+b/2[c2+(1-C)2]，因为c2+(1-c)2≤1，所以｜f’(c)｜≤2a+b/2．
解析
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考研数学三

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