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设f(x)在[0,1]上二阶可导,且|f(x)|≤a,|f"(x)|≤b,其中a,b都是非负常数,c为(0,1)内任意一点.写出f(x)在x=c处带Lagrange型余项的一阶泰勒公式;证明:|f’(x)|≤2a+b/2.
设f(x)在[0,1]上二阶可导,且|f(x)|≤a,|f"(x)|≤b,其中a,b都是非负常数,c为(0,1)内任意一点.写出f(x)在x=c处带Lagrange型余项的一阶泰勒公式;证明:|f’(x)|≤2a+b/2.
admin
2022-10-09
63
问题
设f(x)在[0,1]上二阶可导,且|f(x)|≤a,|f"(x)|≤b,其中a,b都是非负常数,c为(0,1)内任意一点.写出f(x)在x=c处带Lagrange型余项的一阶泰勒公式;证明:|f’(x)|≤2a+b/2.
选项
答案
f(x)=f(c)+f’(c)(x-c)+f’(ξ)/2!(x-c)
2
,其中ξ介于c与x之间,分别令x=0,x=1,得f(0)=f(c)-f’(c)c+f"(ξ
1
)/2!c
2
,ξ
1
∈(0,c),f(1)=f(c)-f’(c)(1-c)+f"(ξ
2
)/2!(1-c)
2
,ξ
2
∈(0,c),两式相减,得f’(c)=f(1)-f(0)+f"(ξ
1
)/2!c
2
-f"(ξ
2
)/2!(1-c)
2
,利用已知条件,得|f’(c)|≤2a+b/2[c
2
+(1-C)
2
],因为c
2
+(1-c)
2
≤1,所以|f’(c)|≤2a+b/2.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/17R4777K
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考研数学三
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