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设f(χ)为(-∞,+∞)上的连续奇函数,且单调增加,F(χ)=∫0χ(2t-χ)f(χ-t)dt,则F(χ)是
设f(χ)为(-∞,+∞)上的连续奇函数,且单调增加,F(χ)=∫0χ(2t-χ)f(χ-t)dt,则F(χ)是
admin
2020-03-01
32
问题
设f(χ)为(-∞,+∞)上的连续奇函数,且单调增加,F(χ)=∫
0
χ
(2t-χ)f(χ-t)dt,则F(χ)是
选项
A、单调增加的奇函数.
B、单调增加的偶函数.
C、单调减小的奇函数.
D、单调减小的偶函数.
答案
C
解析
对被积函数作变量替换u=χ-t,就有
F(χ)=∫
0
χ
(2t-χ)f(χ-t)dt=∫
0
χ
(χ-2u)f(u)du=χ∫
0
χ
f(u)du
由于f(χ)为奇函数,故∫
0
χ
f(u)du为偶函数,于是χ∫
0
χ
f(u)du为奇函数,又因uf(u)为偶函数,从而
∫
0
χ
ufdu为奇函数,所以F(χ)为奇函数.又
F′(χ)=∫
0
χ
f(u)du+χf(χ)-2χf(χ)=∫
0
χ
f(u)du-χf(χ),
由积分中值定理知在0与χ之间存在ξ使得∫
0
χ
f(u)du=χf(ξ).从而F′(χ)=χ[f(ξ)-f(χ)],无论χ>0,还是χ<0,由f(χ)单调增加,都有F′(χ)<0,从而应选C.
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考研数学二
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