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  3. 设f(χ)为(－∞，＋∞)上的连续奇函数，且单调增加，F(χ)＝∫0χ(2t－χ)f(χ－t)dt，则F(χ)是

设f(χ)为(－∞，＋∞)上的连续奇函数，且单调增加，F(χ)＝∫0χ(2t－χ)f(χ－t)dt，则F(χ)是

admin2020-03-01  50
问题 设f(χ)为(－∞，＋∞)上的连续奇函数，且单调增加，F(χ)＝∫0χ(2t－χ)f(χ－t)dt，则F(χ)是
选项 A、单调增加的奇函数．
B、单调增加的偶函数．
C、单调减小的奇函数．
D、单调减小的偶函数．
答案C
解析 对被积函数作变量替换u＝χ－t，就有
    F(χ)＝∫0χ(2t－χ)f(χ－t)dt＝∫0χ(χ－2u)f(u)du＝χ∫0χf(u)du
    由于f(χ)为奇函数，故∫0χf(u)du为偶函数，于是χ∫0χf(u)du为奇函数，又因uf(u)为偶函数，从而
∫0χufdu为奇函数，所以F(χ)为奇函数．又
    F′(χ)＝∫0χf(u)du＋χf(χ)－2χf(χ)＝∫0χf(u)du－χf(χ)，
    由积分中值定理知在0与χ之间存在ξ使得∫0χf(u)du＝χf(ξ)．从而F′(χ)＝χ[f(ξ)－f(χ)]，无论χ＞0，还是χ＜0，由f(χ)单调增加，都有F′(χ)＜0，从而应选C．
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考研数学二

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