2. 考研
  3. 已知A，B均是2×4矩阵，其中 Ax＝0有基础解系α1＝(1，1，2，1)T，α2＝(0，－3，1，0)T； Bx＝0有基础解系β1＝(1，3，0，2)T，β2＝(1，2，－1，a)T． (I)求矩阵A； (Ⅱ)若Ax＝0和Bx＝0有非零公共解，求参数a的

已知A，B均是2×4矩阵，其中 Ax＝0有基础解系α1＝(1，1，2，1)T，α2＝(0，－3，1，0)T； Bx＝0有基础解系β1＝(1，3，0，2)T，β2＝(1，2，－1，a)T． (I)求矩阵A； (Ⅱ)若Ax＝0和Bx＝0有非零公共解，求参数a的

admin2018-12-21  31
问题 已知A，B均是2×4矩阵，其中
Ax＝0有基础解系α1＝(1，1，2，1)T，α2＝(0，－3，1，0)T；
Bx＝0有基础解系β1＝(1，3，0，2)T，β2＝(1，2，－1，a)T．
(I)求矩阵A；
(Ⅱ)若Ax＝0和Bx＝0有非零公共解，求参数a的值及非零公共解．
选项
答案(I)记C＝(α1，α2)，则有AC＝A(α1，α2)＝0，得CTAT＝0，即AT的列向量(即A的行向量)是CTx＝0的解向量． [*] 解得CTx＝0的基础解系为ξ1＝(1，0，0，－1)T，ξ2＝(－7，1，3，0)T． 故 A＝k1ξ2﹢k2ξ2＝[*] 其中k1，k2是任意非零常数． (Ⅱ)若Ax＝0和Bx＝0有非零公共解，则非零公共解既可由α1，α2线性表出，也可由β1，β2线性表 出，设非零公共解为η＝x1α1﹢x2α2＝x3β1﹢x4β4． 于是x1α1﹢x2α2－x3β1－x4β2＝0． (*) 对(α1，α2，－β1，－β2)作初等行变换，有 [*] 当a＝3时，方程组(*)有非零解k(－1，1，－2，1)T(k是任意非零常数)．此时Ax＝0和Bx＝0的非零公共解为η＝k(－α11﹢α2)＝k(－1，－4，－1，－1)T＝k(1，4，1，1)T， 其中k是任意非零常数． 或η＝k(－2β1﹢β2)＝k(1，4，1，1)T， 其中k是任意非零常数．
解析
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考研数学二

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