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(2003年)若矩阵A=相似于对角矩阵A,试确定常数a的值;并求可逆矩阵P,使P-1AP=A.
(2003年)若矩阵A=相似于对角矩阵A,试确定常数a的值;并求可逆矩阵P,使P-1AP=A.
admin
2016-05-30
82
问题
(2003年)若矩阵A=
相似于对角矩阵A,试确定常数a的值;并求可逆矩阵P,使P
-1
AP=A.
选项
答案
由A的特征多项式 |λ-A|=[*] =(λ-6)(λ
2
-4λ-12)=(λ-6)
2
(λ+2) 得A的特征值为λ
*
=λ
2
=6,λ
3
=-2. 因为A只有一个重特征值6(二重),所以, A可对角化[*]对应于特征值6的线性无关特征向量有2个 [*]齐次方程组(6E-A)χ=0的基础解系含2个向量 [*]3-秩(6E-A)=2 [*]秩(6E-A)=1 从而由 [*] 知a=0,且由此可得对应于λ
1
=λ
2
=6的两个线性无关特征向量可取为 [*] 对于特征值λ
3
=-2,由 [*] 得对应的一个特征向量可取为ξ=(1,-2,0)
T
. 于是ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
就是3阶方阵A的3个线性无关特征向量,令矩阵 [*] 则P可逆,且使P
-1
AP=[*]为对角矩阵.
解析
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