2. 考研
  3. (2013年)设奇函数f(χ)在[－1，1]上具有2阶导数，且f(1)＝1．证明： (Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)＝1； (Ⅱ)存在η∈(－1，1)，使得f〞(η)＋f′(η)＝1．

(2013年)设奇函数f(χ)在[－1，1]上具有2阶导数，且f(1)＝1．证明： (Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)＝1； (Ⅱ)存在η∈(－1，1)，使得f〞(η)＋f′(η)＝1．

admin2016-05-30  49
问题 (2013年)设奇函数f(χ)在[－1，1]上具有2阶导数，且f(1)＝1．证明：
    (Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)＝1；
    (Ⅱ)存在η∈(－1，1)，使得f〞(η)＋f′(η)＝1．
选项
答案(Ⅰ)因为f(χ)是区间[－1，1]上的奇函数，所以f(0)＝0． 因为函数f(χ)在区向[0，1]上可导，根据微分中值定理，存在ξ∈(0，1)，使得 f(1)－f(0)＝f′(ξ) 又因为f(1)＝1，所以f′(ξ)＝1． (Ⅱ)因为f(χ)是奇函数，所以f′(χ)是偶函数，故f′(－ξ)＝f′(ξ)＝1． 令F(χ)＝[f′(χ)－1]eχ，则F(χ)可导，且F(－ξ)＝F(ξ)＝0． 根据罗尔定理，存在η∈(－ξ，ξ)[*](－1，1)，使得F′(η)＝0． 由F′(η)＝[f〞(η)＋f′(η)－1]eη且eη≠0，得f〞(η)＋f′(η)＝1．
解析
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考研数学二

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