(06年)在χOy坐标平面上，连续曲线L过点M(1，0)，其上任意点P(χ，y)(χ≠0)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于aχ(常数a＞0)． (Ⅰ)求L的方程； (Ⅱ)当L与直线y＝aχ所围成平面图形的面积为时，确定a的值．

admin2021-01-25 62

问题 (06年)在χOy坐标平面上，连续曲线L过点M(1，0)，其上任意点P(χ，y)(χ≠0)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于aχ(常数a＞0)．
(Ⅰ)求L的方程；
(Ⅱ)当L与直线y＝aχ所围成平面图形的面积为

时，确定a的值．

选项

答案(Ⅰ)依题意得y′－[*]y＝aχ 求得其通解为 y＝[*]＝aχ²＋Cχ 将χ＝1，y＝0代入上式得C＝－a．从而L的方程为y＝aχ²－aχ． (Ⅱ)L与直线y＝aχ的交点坐标为(0，0)和(2，2a)，那么L与直线y＝aχ围成平面图形的面积 S(a)＝∫₀²(aχ－aχ²＋aχ)dχ＝∫₀²(2aχ－aχ²)dχ ＝[*] 于是由题设知[*]，从而a＝2．

解析

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考研数学三

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(06年)在χOy坐标平面上，连续曲线L过点M(1，0)，其上任意点P(χ，y)(χ≠0)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于aχ(常数a＞0)． (Ⅰ)求L的方程； (Ⅱ)当L与直线y＝aχ所围成平面图形的面积为时，确定a的值．

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