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已知是矩阵的一个特征向量. 问A能否相似于对角矩阵?并说明理由.
已知是矩阵的一个特征向量. 问A能否相似于对角矩阵?并说明理由.
admin
2019-05-08
35
问题
已知
是矩阵
的一个特征向量.
问A能否相似于对角矩阵?并说明理由.
选项
答案
因为[*] 故A的特征值为λ
1
=λ
2
=λ
3
=-1.因 [*] 所以秩(E-A)=2,从而A的属于三重特征根λ=-1的线性无关的特征向量只有n-秩(-E-A)=3-2=1个,由命题2.5.3.2(3)知,A不能相似对角化. 注:命题2.5.3.2 (3)n阶矩阵A可相似对角化的另一充要条件是A的n
i
重特征值对应的线性无关的特征向量的个数等于其重数n
i
,即n-秩(λ
i
E-A)=n
i
,亦即秩(r
i
E-A)=n-n
i
,其中n
i
为特征值λ
i
的重数,从而将A是否可相似对角化的问题转化为特征矩阵r
i
E-A的秩的计算问题.
解析
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考研数学三
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