已知是矩阵的一个特征向量. 问A能否相似于对角矩阵?并说明理由.

admin2019-05-08  38

问题 已知是矩阵的一个特征向量.
问A能否相似于对角矩阵?并说明理由.

选项

答案因为[*] 故A的特征值为λ123=-1.因 [*] 所以秩(E-A)=2,从而A的属于三重特征根λ=-1的线性无关的特征向量只有n-秩(-E-A)=3-2=1个,由命题2.5.3.2(3)知,A不能相似对角化. 注:命题2.5.3.2 (3)n阶矩阵A可相似对角化的另一充要条件是A的ni重特征值对应的线性无关的特征向量的个数等于其重数ni,即n-秩(λiE-A)=ni,亦即秩(riE-A)=n-ni,其中ni为特征值λi的重数,从而将A是否可相似对角化的问题转化为特征矩阵riE-A的秩的计算问题.

解析
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