[2017年] 设α为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则( )．

admin2019-04-28 50

问题 [2017年] 设α为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则( )．

选项 A、E—αα^T不可逆
B、E+αα^T不可逆
C、E+2αα^T不可逆
D、E一2αα^T不可逆

答案A

解析令A=αα^T，则A²=A．
又令AX=λX，由(A²－A)X=(λ²－λ)X=0得λ²－λ=0，即λ=0或λ=1．
因为tr(A)=α^Tα=1=λ₁+…+λ_n故得A的特征值为λ₁=…=λ_n-1=0，λ_n=1．
而E－αα^T的特征值为λ₁=…=λ_n－1=1，λ_n=0，从而|E－αα^T|=0，E－αα^T不可逆．仅(A)入选．

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