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求函数z=χ2y(4-χ-y)在由直线χ+y=6,χ轴和y轴所围成的区域D上的最大值与最小值.
求函数z=χ2y(4-χ-y)在由直线χ+y=6,χ轴和y轴所围成的区域D上的最大值与最小值.
admin
2020-03-16
69
问题
求函数z=χ
2
y(4-χ-y)在由直线χ+y=6,χ轴和y轴所围成的区域D上的最大值与最小值.
选项
答案
区域D如图7.1所示,它是有界闭区域.z(χ,y)在D上连续,所以在D上一定有最大值与最小值,它或在D内的驻点达到,或在D的边界上达到. [*] 为求D内驻点,先求 [*]=2χy(4-χ-y)-χ
2
y=χy(8-3χ-2y), [*]=χ
2
(4-χ-y)-χ
2
y=χ
2
(4-χ-2y). 再解方程组[*]得z(χ,y)在D内的唯一驻点(χ,y)=(2,1)且z(2,1)=4. 在D的边界y=0,0≤χ≤6或χ=0,0≤y≤6上z(χ,y)=0; 在边界χ+y=6(0≤χ≤6)上将y=6-χ代入得z(χ,y)=χ
2
(6-χ)(-2)=2(χ
3
-6χ
2
),0≤χ≤6.令h(χ)=2(χ
3
-6χ
2
),则h′(χ)=6(χ
2
-4χ),h′(4)=0,h(0)=0,h(4)=-64,h(6)=0,即z(χ,y)在边界χ+y=6(0≤χ≤6)上的最大值为0,最小值为-64. 因此,[*]z(χ,y)=4,[*]z(χ,y)=-64.
解析
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考研数学二
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