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  3. 求函数z＝χ2y(4－χ－y)在由直线χ＋y＝6，χ轴和y轴所围成的区域D上的最大值与最小值．

求函数z＝χ2y(4－χ－y)在由直线χ＋y＝6，χ轴和y轴所围成的区域D上的最大值与最小值．

admin2020-03-16  64
问题 求函数z＝χ2y(4－χ－y)在由直线χ＋y＝6，χ轴和y轴所围成的区域D上的最大值与最小值．
选项
答案区域D如图7．1所示，它是有界闭区域．z(χ，y)在D上连续，所以在D上一定有最大值与最小值，它或在D内的驻点达到，或在D的边界上达到． [*] 为求D内驻点，先求 [*]＝2χy(4－χ－y)－χ2y＝χy(8－3χ－2y)， [*]＝χ2(4－χ－y)－χ2y＝χ2(4－χ－2y)． 再解方程组[*]得z(χ，y)在D内的唯一驻点(χ，y)＝(2，1)且z(2，1)＝4． 在D的边界y＝0，0≤χ≤6或χ＝0，0≤y≤6上z(χ，y)＝0； 在边界χ＋y＝6(0≤χ≤6)上将y＝6－χ代入得z(χ，y)＝χ2(6－χ)(－2)＝2(χ3－6χ2)，0≤χ≤6．令h(χ)＝2(χ3－6χ2)，则h′(χ)＝6(χ2－4χ)，h′(4)＝0，h(0)＝0，h(4)＝－64，h(6)＝0，即z(χ，y)在边界χ＋y＝6(0≤χ≤6)上的最大值为0，最小值为－64． 因此，[*]z(χ，y)＝4，[*]z(χ，y)＝－64．
解析
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考研数学二

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