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(17)设3阶矩阵A=(α1,α2,α3)有3个不同的特征值,且α3=α1+2α2, (Ⅰ)证明r(A)=2; (Ⅱ)若β=α1+α2+α3,求方程组Ax=β的通解.
(17)设3阶矩阵A=(α1,α2,α3)有3个不同的特征值,且α3=α1+2α2, (Ⅰ)证明r(A)=2; (Ⅱ)若β=α1+α2+α3,求方程组Ax=β的通解.
admin
2019-03-21
55
问题
(17)设3阶矩阵A=(α
1
,α
2
,α
3
)有3个不同的特征值,且α
3
=α
1
+2α
2
,
(Ⅰ)证明r(A)=2;
(Ⅱ)若β=α
1
+α
2
+α
3
,求方程组Ax=β的通解.
选项
答案
(Ⅰ)由于矩阵A的第3列可以由其前两列线性表示,即A的列向量组线性相关.从而知A的秩r(A)≤2;又因为A有3个不同的特征值,所以A至少有2个不为零的特征值,从而r(A)≥2;故r(A)=2. (Ⅱ)由0=α
1
+2α
2
-α
3
=[α
1
,α
2
,α
3
][*] 知ξ=[*]是方程组Ax=0的一个解.又由r(A)=2知方程组Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-2=1,所以ξ=[*]是方程组Ax=0的一个基础解系. 因为β=α
1
+α
2
+α
3
=[α
1
,α
2
,α
3
][*],所以η=[*]是方程绢Ax=β的一个特解,故方程组Ax=β的通解为x=[*],其中k为任意常数.
解析
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