2. 考研
  3. (17)设3阶矩阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2， (Ⅰ)证明r(A)=2； (Ⅱ)若β=α1+α2+α3，求方程组Ax=β的通解．

(17)设3阶矩阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2， (Ⅰ)证明r(A)=2； (Ⅱ)若β=α1+α2+α3，求方程组Ax=β的通解．

admin2019-03-21  57
问题 (17)设3阶矩阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2，
(Ⅰ)证明r(A)=2；
(Ⅱ)若β=α1+α2+α3，求方程组Ax=β的通解．
选项
答案(Ⅰ)由于矩阵A的第3列可以由其前两列线性表示，即A的列向量组线性相关．从而知A的秩r(A)≤2；又因为A有3个不同的特征值，所以A至少有2个不为零的特征值，从而r(A)≥2；故r(A)=2． (Ⅱ)由0=α1+2α2-α3=[α1，α2，α3][*] 知ξ=[*]是方程组Ax=0的一个解．又由r(A)=2知方程组Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-2=1，所以ξ=[*]是方程组Ax=0的一个基础解系． 因为β=α1+α2+α3=[α1，α2，α3][*]，所以η=[*]是方程绢Ax=β的一个特解，故方程组Ax=β的通解为x=[*]，其中k为任意常数．
解析
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考研数学二

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