求二元函数z=f(x,y)=x2y(4-x-y)在由x轴、y轴及x+y=6所围成的闭区域D上的最小值和最大值。

admin2019-09-27 75

问题求二元函数z=f(x,y)=x²y(4-x-y)在由x轴、y轴及x+y=6所围成的闭区域D上的最小值和最大值。

选项

答案(1)求f(x,y)在区域D边界上的最值，在L₁:y=0(0≤x≤6)上，z=0；在L₂:x=0(0≤y≤6)上，z=0；在L₃:y=6-x(0≤x≤6)上，z=-2x²(6-x)=2x³-12x²；由[*]=6x²-24x=0得x=4,因为f(0,6)=0,f(6,0)=0,f(4,2)=-64,所以f(x,y)在L³上最小值为-64，最大值为0. （2）在区域D内，由[*]得驻点为（2,1） [*] 因为AC-B²＞0且A＜0，所以（2,1）为f(x,y)的极大值点，极大值为f(2,1)=4,故z=f(x,y)在D上的最小值为m=f(4,2)=-64,最大值为M=f(2,1)=4.

解析

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