[2005年] 如图1.3.5.2所示,c1和c2分别是y=(1+ex)/2和y=ex的图形,过点(0,1)的曲线c3是一单调增函数的图形,过c2上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly.记c1,c2与lx所围图形的面积为S1(x);c

admin2019-04-05  33

问题 [2005年]  如图1.3.5.2所示,c1和c2分别是y=(1+ex)/2和y=ex的图形,过点(0,1)的曲线c3是一单调增函数的图形,过c2上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly.记c1,c2与lx所围图形的面积为S1(x);c2,c3与ly所围图形的面积为S2(y).如果总有S1(x)=S2(y),求曲线c3的方程x=φ(y).

选项

答案利用定积分的几何意义可确定面积S1(x),S2(y).再由S1(x)=S2(y)可建立积分等式,求导可得到微分方程,解此方程即可求出所需的函数关系. 先求出S1(x),S2(y)的表达式,由定积分的几何意义,利用式(1.3.5.1)得到 S1(x)=∫0x[et一[*](1+et)]dt=[*]∫0x(et一1)dt=[*](ex—x—1), S2(y)=∫1y[lnt一φ(t)]dt 由题设S1(x)=S2(y)得到 [*]=∫1y[lnt—φ(t)]dt. 因点M在曲线c2上,故y=ex,即x=lny.于是由上式得 [*]=∫1y[lnt一φ(t)]dt, 两边对y求导得 [*]=lny一φ(y)=lny一x, 故曲线c3的方程为x=φ(y)=lny一(y一1)/(2y).

解析
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