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[2005年] 如图1.3.5.2所示,c1和c2分别是y=(1+ex)/2和y=ex的图形,过点(0,1)的曲线c3是一单调增函数的图形,过c2上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly.记c1,c2与lx所围图形的面积为S1(x);c
[2005年] 如图1.3.5.2所示,c1和c2分别是y=(1+ex)/2和y=ex的图形,过点(0,1)的曲线c3是一单调增函数的图形,过c2上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly.记c1,c2与lx所围图形的面积为S1(x);c
admin
2019-04-05
66
问题
[2005年] 如图1.3.5.2所示,c
1
和c
2
分别是y=(1+e
x
)/2和y=e
x
的图形,过点(0,1)的曲线c
3
是一单调增函数的图形,过c
2
上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线l
x
和l
y
.记c
1
,c
2
与l
x
所围图形的面积为S
1
(x);c
2
,c
3
与l
y
所围图形的面积为S
2
(y).如果总有S
1
(x)=S
2
(y),求曲线c
3
的方程x=φ(y).
选项
答案
利用定积分的几何意义可确定面积S
1
(x),S
2
(y).再由S
1
(x)=S
2
(y)可建立积分等式,求导可得到微分方程,解此方程即可求出所需的函数关系. 先求出S
1
(x),S
2
(y)的表达式,由定积分的几何意义,利用式(1.3.5.1)得到 S
1
(x)=∫
0
x
[e
t
一[*](1+e
t
)]dt=[*]∫
0
x
(e
t
一1)dt=[*](e
x
—x—1), S
2
(y)=∫
1
y
[lnt一φ(t)]dt 由题设S
1
(x)=S
2
(y)得到 [*]=∫
1
y
[lnt—φ(t)]dt. 因点M在曲线c
2
上,故y=e
x
,即x=lny.于是由上式得 [*]=∫
1
y
[lnt一φ(t)]dt, 两边对y求导得 [*]=lny一φ(y)=lny一x, 故曲线c
3
的方程为x=φ(y)=lny一(y一1)/(2y).
解析
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考研数学二
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