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已知4阶方阵A=[α1,α2,α3,α4],α1,α2,α3,α4均为4维列向量,其中α1,α1线性无关,若 β=α1+2α2一α3=α1+α2+α3一α4=α1+3α2+α3+2α4,则Ax=β的通解为_____.
已知4阶方阵A=[α1,α2,α3,α4],α1,α2,α3,α4均为4维列向量,其中α1,α1线性无关,若 β=α1+2α2一α3=α1+α2+α3一α4=α1+3α2+α3+2α4,则Ax=β的通解为_____.
admin
2018-02-23
60
问题
已知4阶方阵A=[α
1
,α
2
,α
3
,α
4
],α
1
,α
2
,α
3
,α
4
均为4维列向量,其中α
1
,α
1
线性无关,若
β=α
1
+2α
2
一α
3
=α
1
+α
2
+α
3
一α
4
=α
1
+3α
2
+α
3
+2α
4
,则Ax=β的通解为_____.
选项
答案
[*],k
1
,k
2
∈R
解析
由β=α
1
一2α
2
一α
3
=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
=α
1
+3α
2
+α
3
+2α
4
,
可知
均为Ax=β的解,故β
1
一β
2
=
均为Ax=0
的解.
由于α
1
,α
2
线性无关,可知r(A)≥2.又由于Ax=0有两个线性无关的解β
1
一β
2
,β
2
一β
3
,可知Ax=0的基础解系中至少含有两个向量,也即4一r(A)≥2,即r(A)≤2.
综上,r(A)=2,Ax=0的基础解系中含有两个线性无关的向量,故β
1
一
2
,β
2
一β
3
即为Ax=0的基础解系.故Ax=β的通解为
,k
1
,k
2
∈R
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考研数学二
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