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设连接两点A(0,1),B(1,0)的一条凸弧,P(χ,y)为凸弧AB上的任意点(图6.5).已知凸弧与弦AP之间的面积为χ3,求此凸弧的方程.
设连接两点A(0,1),B(1,0)的一条凸弧,P(χ,y)为凸弧AB上的任意点(图6.5).已知凸弧与弦AP之间的面积为χ3,求此凸弧的方程.
admin
2016-10-21
32
问题
设连接两点A(0,1),B(1,0)的一条凸弧,P(χ,y)为凸弧AB上的任意点(图6.5).已知凸弧与弦AP之间的面积为χ
3
,求此凸弧的方程.
选项
答案
设凸弧的方程为y=f(χ),因梯形OAPC的面积为[*][1+f(χ)],故χ
3
=∫
0
χ
f(t)dt-[*][1+f(χ)]. 两边对χ求导,则得y=f(χ)所满足的微分方程为 χy′-y=-6χ
2
-1. 其通解为y=[*]=Cχ-6χ
2
+1. 对任意常数C,总有y(0)=1,即此曲线族均通过点A(0,1). 又根据题设,此曲线过点(1,0),即y(1)=0,由此即得C=5,即所求曲线为y=5χ-6χ
2
+1. [*]
解析
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0
考研数学二
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