设连接两点A(0，1)，B(1，0)的一条凸弧，P(χ，y)为凸弧AB上的任意点(图6．5)．已知凸弧与弦AP之间的面积为χ3，求此凸弧的方程．

admin2016-10-21 59

问题设连接两点A(0，1)，B(1，0)的一条凸弧，P(χ，y)为凸弧AB上的任意点(图6．5)．已知凸弧与弦AP之间的面积为χ³，求此凸弧的方程．

选项

答案设凸弧的方程为y＝f(χ)，因梯形OAPC的面积为[*][1＋f(χ)]，故χ³＝∫₀^χf(t)dt－[*][1＋f(χ)]．两边对χ求导，则得y＝f(χ)所满足的微分方程为 χy′－y＝－6χ²－1．其通解为y＝[*]＝Cχ－6χ²＋1．对任意常数C，总有y(0)＝1，即此曲线族均通过点A(0，1)．又根据题设，此曲线过点(1，0)，即y(1)＝0，由此即得C＝5，即所求曲线为y＝5χ－6χ²＋1． [*]

解析

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