2. 考研
  3. 设A，B均为n阶矩阵，且E-AB可逆，则E-BA也可逆．

设A，B均为n阶矩阵，且E-AB可逆，则E-BA也可逆．

admin2021-02-25  61
问题 设A，B均为n阶矩阵，且E-AB可逆，则E-BA也可逆．
选项
答案本题考查逆矩阵的概念及性质，抽象矩阵求逆一般主要是AB=E，则A可逆，还可以用A的行列式不为零，则A可逆，也可以构造恒等式使AX=E，则X是A的逆． 证法1：设C为n阶矩阵，使(E-AB)C=E，则C-ABC=E，左乘n阶方阵B，右乘n阶方阵A，有 BCA-BABCA=BA， (E-BA)BCA=BA-E+E， 即 (E-BA)(E+BCA)=E， 因而E-BA可逆． 证法2：利用分块矩阵的运算． [*]，两边取行列式得[*]，同理 [*] 两边取行列式得 [*] 又由于 [*] 所以｜E-AB｜=｜E-BA｜，而E-AB可逆，从而｜E-AB｜≠0，因而｜E-BA｜≠0，故E-BA可逆． 证法3：作恒等式，由A-ABA=A-ABA，得 (E-AB)A=A(E-BA)， 又由E-AB可逆，所以 A=(E-AB)-1A(E-BA)． 再由 E=E-BA+BA=E-BA+B(E-AB)-1A(E-BA)=[E+B(E-AB)-1A](E-BA)， 故E-BA可逆，且 (E-BA)-1=E+B(E-AB)-1A．
解析
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考研数学二

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