设D为曲线y=x3与直线y=x围成的两块区域，求二重积分[ex2+sin(x+y)]dσ．

admin2018-09-25 33

问题设D为曲线y=x³与直线y=x围成的两块区域，求二重积分

[e^x²+sin(x+y)]dσ．

选项

答案区域D如图1．6—5所示， [*] 第一象限部分记为D₁，第三象限部分记为D₂，于是 [*] =∫₀¹dx∫_x³^xe^x²dy+∫_－1⁰dx∫_x^x³e^x²dy+∫₀¹dx∫_x³^xsin(x+y)dy+∫_－1⁰dx∫_x^x³sin(x+y)dy =∫₀¹e^x²(x－x³)dx+∫_－1⁰e^x²(x³－x)dx－∫₀¹cos(x+x)dx+ ∫₀¹cos(x+x³)dx－∫_－1⁰cos(x+x³)dx+∫_－1⁰cos(x+x)dx．令x=－t，则第2个积分与第1个积分可合并，第3个积分与第6个积分相抵消，第4个积分与第5个积分相抵消．于是原式=2 e^x²(x－x³)dx=∫₀¹e^x²dx²－∫₀¹e^x²x²dx² =e^x²｜₀¹－∫₀¹e^uudu=e－1－(e^uu－e^u)｜₀¹=e－2．

解析

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考研数学一

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设D为曲线y=x3与直线y=x围成的两块区域，求二重积分[ex2+sin(x+y)]dσ．

考研数学一

求齐次方程组的基础解系．

计算二重积分｜｜x+y｜－2｜dxdy，其中D：0≤x≤2，－2≤y≤2．

记Il为物体对l轴的转动惯量，为对平行于l轴并通过物体质心的轴l的转动惯量，d为两轴间的距离，M为物体的质量，证明：Il=+Md2．

设函数f(x)有反函数g(x)，且f(a)=3，f′(a)=1，f″(a)=2，求g″(3)．

设函数f(x)在[0，1]二阶可导，且f(0)=f′(0)=f′(1)=0，f(1)=1．求证：存在ξ∈(0，1)，使｜f″(ξ)｜≥4．

将函数f(x)=展为麦克劳林级数是___________．

若视∑为曲面x2+y2+z2=a2(y≥0，z≥0)的上侧，则当f(x，y，z)为下述选项中的函数()，曲线积分f(x，y，z)dydz=0．

若函数F(x，y，z)满足F″xx+F″yy+F″zz=0，证明其中Ω是光滑闭曲面S所围的区域，是F在曲面S上沿曲面S的外向法线的方向导数．

设u=x2+3y+yz，则div(gradu)=______．

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