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设D为曲线y=x3与直线y=x围成的两块区域,求二重积分[ex2+sin(x+y)]dσ.
设D为曲线y=x3与直线y=x围成的两块区域,求二重积分[ex2+sin(x+y)]dσ.
admin
2018-09-25
78
问题
设D为曲线y=x
3
与直线y=x围成的两块区域,求二重积分
[e
x
2
+sin(x+y)]dσ.
选项
答案
区域D如图1.6—5所示, [*] 第一象限部分记为D
1
,第三象限部分记为D
2
,于是 [*] =∫
0
1
dx∫
x
3
x
e
x
2
dy+∫
-1
0
dx∫
x
x
3
e
x
2
dy+∫
0
1
dx∫
x
3
x
sin(x+y)dy+∫
-1
0
dx∫
x
x
3
sin(x+y)dy =∫
0
1
e
x
2
(x-x
3
)dx+∫
-1
0
e
x
2
(x
3
-x)dx-∫
0
1
cos(x+x)dx+ ∫
0
1
cos(x+x
3
)dx-∫
-1
0
cos(x+x
3
)dx+∫
-1
0
cos(x+x)dx. 令x=-t,则第2个积分与第1个积分可合并,第3个积分与第6个积分相抵消,第4个积分与第5个积分相抵消.于是 原式=2 e
x
2
(x-x
3
)dx=∫
0
1
e
x
2
dx
2
-∫
0
1
e
x
2
x
2
dx
2
=e
x
2
|
0
1
-∫
0
1
e
u
udu=e-1-(e
u
u-e
u
)|
0
1
=e-2.
解析
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0
考研数学一
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