设D为曲线y=x3与直线y=x围成的两块区域，求二重积分[ex2+sin(x+y)]dσ．

admin2018-09-25 52

问题设D为曲线y=x³与直线y=x围成的两块区域，求二重积分

[e^x²+sin(x+y)]dσ．

选项

答案区域D如图1．6—5所示， [*] 第一象限部分记为D₁，第三象限部分记为D₂，于是 [*] =∫₀¹dx∫_x³^xe^x²dy+∫_－1⁰dx∫_x^x³e^x²dy+∫₀¹dx∫_x³^xsin(x+y)dy+∫_－1⁰dx∫_x^x³sin(x+y)dy =∫₀¹e^x²(x－x³)dx+∫_－1⁰e^x²(x³－x)dx－∫₀¹cos(x+x)dx+ ∫₀¹cos(x+x³)dx－∫_－1⁰cos(x+x³)dx+∫_－1⁰cos(x+x)dx．令x=－t，则第2个积分与第1个积分可合并，第3个积分与第6个积分相抵消，第4个积分与第5个积分相抵消．于是原式=2 e^x²(x－x³)dx=∫₀¹e^x²dx²－∫₀¹e^x²x²dx² =e^x²｜₀¹－∫₀¹e^uudu=e－1－(e^uu－e^u)｜₀¹=e－2．

解析

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考研数学一

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