设f(x)=x2+ax+b，证明：｜f(1)｜，｜f(3)｜，｜f(5)｜中至少有一个不小于2．

admin2018-09-25 42

问题设f(x)=x²+ax+b，证明：｜f(1)｜，｜f(3)｜，｜f(5)｜中至少有一个不小于2．

选项

答案用反证法．设｜f(1)｜，｜f(3)｜，｜f(5)｜都小于2，即｜f(1)｜=｜a+b+1｜＜2，｜f(3)｜=｜3a+b+9｜＜2，｜f(5)｜=｜5a+b+25｜＜2，则｜f(1)－2f(3)+f(5)｜≤｜f(1)｜+2 ｜f(3)｜+｜f(5)｜＜2+2×2+2=8．而事实上，｜f(1)－2f(3)+f(5)｜=｜a+6+1－6a－2b－18+5a+b+25｜=8，矛盾，故｜f(1)｜，｜f(3)｜，｜f(5)｜中至少有一个不小于2．

解析

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考研数学一

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设(Ⅰ)求f′(x)；(Ⅱ)证明：x=0是f(x)的极大值点；(Ⅲ)令xn=，考察f′(x0)是正的还是负的，n为非零整数；(Ⅳ)证明：对δ＞0，f(x)在(－δ，0]上不单调上升，在[0，δ]上不单调下降．
设有参数方程0≤t≤π．(Ⅰ)求证该参数方程确定y=y(x)，并求定义域；(Ⅱ)讨论y=y(x)的可导性与单调性；(Ⅲ)讨论y=y(x)的凹凸性．
证明：x－x2＜ln(1+x)＜x(x＞0)．
证明：arctanx=arcsin(x∈(－∞，+∞))．
设a＞0为常数，求积分I=xy2dσ，其中D：x2+y2≤ax．
计算I=dxdy，其中D为曲线y=lnx与二直线y=0，y=(e+1)－x所围成的平面区域．
设f(x)在[0，1]连续，且对任意x，y∈[0，1]均有｜f(x)－f(y)｜≤M｜x－y｜，M为正的常数，求证：
证明dx=0．
过曲线y=x2(x≥0)上某点A作一切线，使之与曲线及x轴围成图形面积为，求：(Ⅰ)切点A的坐标：(Ⅱ)过切点A的切线方程；(Ⅲ)由上述图形绕x轴旋转的旋转体的体积．
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