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设f(x)=ax3-3ax2+b(a>0)在区间[一1,2]上的最大值为1,最小值为一3,试求常数a和b的值.
设f(x)=ax3-3ax2+b(a>0)在区间[一1,2]上的最大值为1,最小值为一3,试求常数a和b的值.
admin
2021-01-30
65
问题
设f(x)=ax
3
-3ax
2
+b(a>0)在区间[一1,2]上的最大值为1,最小值为一3,试求常数a和b的值.
选项
答案
由题意a≠0.当x∈(一1,2)时,因为f′(x)=3ax
2
一6ax,令f′(x)=0,解得唯一的驻点x=0,因此函数的最值只能在x=0,x=一1以及x=2处取到.可能的最值为 f(一1)=一4a+b, f(0)=b, f(2)=一4a+b, 由于a>0,因此f(0)=b为函数f(x)在[一1,2]上的最大值,f(-1)=f(2)=一4a+b为f(x)在[一1,2]上的最小值,即有b=1,一4n+b=一3,解得b=1,a=1.
解析
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考研数学三
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