某综合性大学只有理科与文科，理科学生多于文科学生，女生多于男生。如果上述断定为真，则以下哪项关于该大学学生的断定也一定为真? Ⅰ文科的女生多于文科的男生。 Ⅱ理科的男生多于文科的男生。 Ⅲ理科的女生多于文科的男生。

admin2010-11-10 33

问题某综合性大学只有理科与文科，理科学生多于文科学生，女生多于男生。如果上述断定为真，则以下哪项关于该大学学生的断定也一定为真? Ⅰ文科的女生多于文科的男生。 Ⅱ理科的男生多于文科的男生。 Ⅲ理科的女生多于文科的男生。

选项 A、只有Ⅰ和Ⅱ。
B、只有Ⅲ。
C、只有Ⅱ和Ⅲ。
D、Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。
E、Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ都不一定是真的。

答案B

解析 Ⅰ和Ⅱ均不一定真。例如，假设全校学生400名，理科学生共300名且都是女生，文科学生共100名都是男生，则题干的条件成立，但I和Ⅱ均不成立。
Ⅲ一定为真。
由理科生多于文科生，得
(理科男生十理科女生)＞(文科男生+文科女生) (1)
由女生多于男生，得
(理科女生+文科女生)＞(理科男生+文科男生) (2)
显然，由不等式(1)的左项减去不等式(2)的右项所得的差，大于由不等式(1)的右项减去不等式(2)的左项所得的差，得
(理科女生-文科男生)＞(文科男生-理科女生) (3)
由不等式(3)得
理科女生×2＞文科男生×2
即理科女生＞文科男生 (4)

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