设n维列向量组α1,α2……αs线性无关，A是m×n矩阵，且r(A)=n，则向量组Aαs，Aα2，…，Aαs线性无关

admin2016-01-11 39

问题设n维列向量组α₁,α₂……α_s线性无关，A是m×n矩阵，且r(A)=n，则向量组Aα_s，Aα₂，…，Aα_s线性无关

选项

答案设有数组k₁，k₂，…，k_s，使k₁Aα₁+k₂Aα₂+…+k_sAα_s=0，即A(k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s)=0．由于r(A)=n，所以方程组Ax=0只有零解，即k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s=0．又α₁，α₂，…，α_s线性无关，于是k₁=k₂=…=k_s=0，故向量组Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性无关．

解析本题考查向量组线性相关性的概念和线性相关性的判定．要求考生掌握向量组的线性相关性与其对应的齐次线性方程组的解的关系．

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