(2003年)设{an}，{bn}，{cn}均为非负数列，且则必有( )

admin2018-03-11 39

问题 (2003年)设{a_n}，{b_n}，{c_n}均为非负数列，且

则必有( )

选项 A、a_n＜b_n对任意n成立
B、b_n＜c_n对任意n成立
C、极限

不存在
D、极限

不存在

答案D

解析由于

则由极限的保号性可知，存在N＞0，使得当n＞N时，a_n＜b_n，但不是对任意的n都成立。例如

b_n=1，n=1，2时不满足a_n＜b_n，所以选项A错误。
类似地，选项B也是错误的。例如b_n=1，

n=1，2时不满足b_n＜c_n。
由于

因此

是0·∞型的未定式，有可能收敛也有可能发散，所以选项C是错误的。例如

极限

证明

发散，可采用反证法。假设

是收敛的，由于

可知

也是收敛的，与已知条件矛盾，假设不成立，也即

是发散的。由此唯一正确的选项是D。

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