已知(x，y)为一个二维随机变量，X1=X+2Y，X2=X一2Y．(X1，X2)的概率密度为f(x1，x2) (Ⅰ)分别求出X和Y的密度函数； (Ⅱ)求X和Y的相关系数，并由此写出(X，Y)的联合密度．

admin2017-11-23 57

问题已知(x，y)为一个二维随机变量，X₁=X+2Y，X₂=X一2Y．(X₁，X₂)的概率密度为f(x₁，x₂)

(Ⅰ)分别求出X和Y的密度函数；
(Ⅱ)求X和Y的相关系数，并由此写出(X，Y)的联合密度．

选项

答案 (Ⅰ)由(X₁，X₂)的联合密度可知X₁与X₂相互独立，且 X₁～N(4，3)， X₂～N(2，1) 由正态分布的性质可知，X₁，X₂的线性组合仍服从正态分布，而由X₁=X+2Y， X₂=X一2Y 得 [*] 根据期望和方差的性质有 [*] (Ⅱ)由X₁=X+2Y可知， DX₁=DX+4DY+4cov(X，Y) 故 [*] 由二维正态分布密度函数 [*]

解析

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