已知(x,y)为一个二维随机变量,X1=X+2Y,X2=X一2Y.(X1,X2)的概率密度为f(x1,x2) (Ⅰ)分别求出X和Y的密度函数; (Ⅱ)求X和Y的相关系数,并由此写出(X,Y)的联合密度.

admin2017-11-23  33

问题 已知(x,y)为一个二维随机变量,X1=X+2Y,X2=X一2Y.(X1,X2)的概率密度为f(x1,x2)
(Ⅰ)分别求出X和Y的密度函数;
(Ⅱ)求X和Y的相关系数,并由此写出(X,Y)的联合密度.

选项

答案 (Ⅰ)由(X1,X2)的联合密度可知X1与X2相互独立,且 X1~N(4,3), X2~N(2,1) 由正态分布的性质可知,X1,X2的线性组合仍服从正态分布,而由X1=X+2Y, X2=X一2Y 得 [*] 根据期望和方差的性质有 [*] (Ⅱ)由X1=X+2Y可知, DX1=DX+4DY+4cov(X,Y) 故 [*] 由二维正态分布密度函数 [*]

解析
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