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如果数列{xn}收敛，{yn}发散，那么{xnyn}是否一定发散?如果{xn}和{yn}都发散，那么{xnyn}的敛散性又将如何?
如果数列{xn}收敛，{yn}发散，那么{xnyn}是否一定发散?如果{xn}和{yn}都发散，那么{xnyn}的敛散性又将如何?
admin
2015-07-04
54
问题
如果数列{x
n
}收敛，{y
n
}发散，那么{x
n
y
n
}是否一定发散?如果{x
n
}和{y
n
}都发散，那么{x
n
y
n
}的敛散性又将如何?
选项
答案
在题设两种情况下，{x
n
y
n
}的收敛性都不能确定，现在先就{x
n
}收敛，{y
n
}发散的情况来分析．利用[*]这个恒等式，就可得到下述结论：若{x
n
}收敛且不收敛于零，{y
n
}发散，则{x
n
y
n
}必发散．这是因为若{x
n
y
n
}收敛，且又{x
n
}收敛而极限不等于零，则从上述恒等式及极限相除法则，可知{y
n
}收敛，这与假设矛盾．若[*]，且{y
n
}发散，则{x
n
y
n
}可能收敛，也可能发散，如： ①[*]y
n
=n，则x
n
y
n
=1，于是{x
n
y
n
}收敛． ②[*],y
n
=(一1)
n
n，则x
n
y
n
=(一1)
n
，于是{x
n
y
n
}发散．现在再就{x
n
}和{y
n
}都发散的情况来分析{x
n
y
n
}的收敛性．有下面的结论：若{x
n
}和{y
n
}都发散，且两者至少有一个是无穷大，则{x
n
y
n
}必发散．这是因为如果{x
n
y
n
}收敛，而{x
n
}为无穷大，从等式[*]便得到{y
n
}收敛于零，这与假设矛盾． 若{x
n
}和{y
n
}都不是无穷大且都发散，则{x
n
y
n
}可能收敛，也可能发散，如 ③x
n
=y
n
=(一1)
n
有x
n
y
n
=1，于是{x
n
y
n
}收敛． ④x
n
=(一1)
n
，y
n
=1一(一1)
n
，有x
n
y
n
=(一1)
n
一1，于是{x
n
y
n
}发散．
解析
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