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  3. 如果数列{xn}收敛，{yn}发散，那么{xnyn}是否一定发散?如果{xn}和{yn}都发散，那么{xnyn}的敛散性又将如何?

如果数列{xn}收敛，{yn}发散，那么{xnyn}是否一定发散?如果{xn}和{yn}都发散，那么{xnyn}的敛散性又将如何?

admin2015-07-04  53
问题 如果数列{xn}收敛，{yn}发散，那么{xnyn}是否一定发散?如果{xn}和{yn}都发散，那么{xnyn}的敛散性又将如何?
选项
答案在题设两种情况下，{xnyn}的收敛性都不能确定，现在先就{xn}收敛，{yn}发散的情况来分析．利用[*]这个恒等式，就可得到下述结论：若{xn}收敛且不收敛于零，{yn}发散，则{xnyn}必发散．这是因为若{xnyn}收敛，且又{xn}收敛而极限不等于零，则从上述恒等式及极限相除法则，可知{yn}收敛，这与假设矛盾．若[*]，且{yn}发散，则{xnyn}可能收敛，也可能发散，如： ①[*]yn=n，则xnyn=1，于是{xnyn}收敛． ②[*],yn=(一1)nn，则xnyn=(一1)n，于是{xnyn}发散．现在再就{xn}和{yn}都发散的情况来分析{xnyn}的收敛性．有下面的结论：若{xn}和{yn}都发散，且两者至少有一个是无穷大，则{xnyn}必发散．这是因为如果{xnyn}收敛，而{xn}为无穷大，从等式[*]便得到{yn}收敛于零，这与假设矛盾． 若{xn}和{yn}都不是无穷大且都发散，则{xnyn}可能收敛，也可能发散，如 ③xn=yn=(一1)n有xnyn=1，于是{xnyn}收敛． ④xn=(一1)n，yn=1一(一1)n，有xnyn=(一1)n一1，于是{xnyn}发散．
解析
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