(2004年)设A，B为满足AB＝O的任意两个非零矩阵，则必有【】

admin2016-05-30 50

问题 (2004年)设A，B为满足AB＝O的任意两个非零矩阵，则必有【】

选项 A、A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关．
B、A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关．
C、A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关．
D、A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关．

答案A

解析设A按列分块为A＝[α₁ α₂ … α_n]，由B≠O知B至少有一列非零，设B的第j列(b_1j，b_j，…，b_nj)^T≠0，则AB的第j列为
[α₁ α₂ … α_n]＝

＝0，
即b_1jα₁＋b_2jα₂＋…＋b_njα_n＝0，
因为常数b_1j，b_2j，…，b_nj不全为零，故由上式知A的列向量组线性相关，再由AB＝O取转置得B^TA^T＝O，利用已证的结果可知B^T的列向量组——即B的行向量组线性相关，故A正确．

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